第四章 第三节
(限时45分钟，满分100分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2014·辽宁)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是
A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
答案 A
2．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝
A．－2 B．－1 C．1 D．2
（1，2）·（m＋4，2m＋2）a·cb·c解析 c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝|a|·|c||b|·|c|221＋2（4，2）·（m＋4，2m＋2）
42＋22
答案 D
3．设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则e1与e2的夹角为
A.
ππππ
B. C. D. 6432
2
8m＋20
，即5m＋8＝，解得m＝2.
2
e22e1·e2＋e22|e1|·|e2|cos θ＋1a·b（2e1＋e2）·
解析 设θ为e1与e2的夹角，则＝＝＝＝2，
|b||e2|11π1
解得cos θ＝，则θ＝.
23答案 C
- 1 -
→与AC→的夹角为120°，→|＝2，→|＝3，→＝λAB→＋AC→，
4．(2014·韶关一模)已知向量AB且|AB|AC若AP→⊥BC→，则实数λ的值为 且AP
312A. B．13 C．6 D. 77
→·BC→＝(λAB→＋AC→)·→－AB→)＝0得λAB→·AC→－λ(AB→)2＋(AC→)2－AC→ ·AB→＝0?－3λ－解析 AP(AC124λ＋9＋3＝0?λ＝.
7
答案 D
→·BC→等于
5．(2015·诸暨模拟)已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，O为△ABC的外心，则AOA．4 B．6 C．8 D．10
解析 结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，从而→|2→|2
|AB|AC→→→→→·BC→＝AO→·AC→－AO→·AB→＝8－2＝6.
AO·AB＝＝2，AO·AC＝＝8，故AO
22
答案 B
6．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取值范围为
足|CD
A．[4，6] B．[19－1，19＋1] C．[23，27] D．[7－1，7＋1]
→|＝1，
解析 由|CD得动点D在以点C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，→＋OB→＋OD→＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA→＋OB→＋OD→|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2
所以OA
→＋OB→＋OD|2∈[8－27，8＋27]，即|OA→＋
＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA→→
OB＋OD|＝[7－1，7＋1]．
答案 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
→＝4AC→，
7．(2014·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB→·(OB→－OA→)＝________． 则OC
→|＝2，|AC→|＝2，则OC→·(OB→－OA→)＝(OA→＋AC→)·→＝OA→·AB→＋AC→·AB→＝
解析 由已知得|ABAB
4
- 2 -
3π212cos ＋×2＝－.
4421答案 －
2
→在CD→方向
8．(2015·青浦模拟)已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，1)、D(3，4)，则向量AB上的投影为________．
→＝(2，1)，CD→＝(5，3)， 解析 依题意，AB
→·CD→AB13→与CD→夹角为θ，则cos θ＝
设AB＝，
→→5×34|AB||CD|→在CD→方向上的投影为|AB→|·cos θ＝5×
∴AB
1334
34
131334
＝.
345·34
答案
→＝xCA→＋yCB→，
9．(2014·温州十校联合体期末)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO→－mCB→|的最小值为3，则|CO→|的最小值为________． 且x＋y＝1.若函数f(m)＝|CA
2
→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以|CO→|的最小值为AB
解析 由CO
→－mCB→|的最小值为3，即点A
边上的高．又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|CA
2到BC边的距离为
1
答案 2
三、解答题(共52分)
10．(16分)已知向量a与b的夹角为120°，且m＝(1)求m·n；
(2)求m与n的夹角的余弦值．
b9?2ab??3a2b??a?2a·?b?2?1?
＋－＋????????解析 (1)m·n＝|a||b|·|a||b|＝－6×|a|＋＋2×|b|＝－6＋?－2?＋2＝－. ??????|a|·????|b|22ab
(2)|m|＝＋＝
|a||b|
3→|的最小值为1. ，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO22
2ab3a2b
＋，n＝－＋， |a||b||a||b|
9?2ab?2
?|a|＋|b|?＝3，同理|n|＝19，由(1)知m·n＝－，所以cos〈m，n〉＝??2
- 3 -
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