专题11 平面向量
1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为
π 62πC．
3A．【答案】B
π 35πD．
6B．
2a?b|b|1??【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b=0，所以a?b?b2，所以cos?=，所a?b2|b|222以a与b的夹角为
π，故选B． 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,?]．
uuuruuuruuuruuuruuur2．【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC=
A．?3 C．2 【答案】C
B．?2 D．3
uuuruuuruuuruuuruuur22【解析】由BC?AC?AB?(1,t?3)，BC?1?(t?3)?1，得t?3，则BC?(1,0)，uuuruuurABgBC?(2,3)g(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
uuuruuuruuurruuuruuu3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB?AC|?|BC|”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
uuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuurruuuruuu【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|?|AC|?2AB?AC?|AB|?|AC|?2AB?AC，即 uuuruuur2uuuruuur2uuuruuuruuurruuuruuuruuu|AB?AC|?|AC?AB|，因为AC?AB?BC，所以|AB+AC|>|BC|；
|AB+AC|2>|AB-AC|2?AB?AC>0，B，C不共线，当|AB+AC|>|BC|成立时，又因为点A，所以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C．
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
ruuuruuuuuurruuuruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuuuur4．【2018年高考全国I卷理数】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB? r1uuur3uuuA．AB?AC
44r1uuur3uuuC．AB?AC
44【答案】A
r3uuur1uuuB．AB?AC
44r3uuur1uuuD．AB?AC
44uuur1uuur1uuur1uuur1uuuur1uuuruuurv1uuBA?AC 【解析】根据向量的运算法则，可得BE?BA?BD?BA?BC?BA?222424ur1uuur1uuur3uuur1uuuruuur3uuur1uuur1uu?BA?BA?AC?BA?AC，所以EB?AB?AC. 2444444??故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4 C．2 【答案】B
【解析】因为a??2a?b??2a?a?b?2|a|???1??2?1?322B．3 D．0
所以选B.
【名师点睛】已知非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)：
模 几何表示 |a|=a?a a?b cos??a?b坐标表示 a?x12?y12 cos??x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122夹角 π6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足
3b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是
A．3?1 C．2 【答案】A
B．3+1 D．2?3 【解析】设，则由得
，
由b2?4e·b+3=0得
的距离
因此|a?b|的最小值为圆心
到直线
23=3减去半径1，为2选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.
7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，AB?BC,AD?CD,?BAD?120,AB?AD?1,ouuuruuur若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为
21 1625C．
16A．【答案】A
B．
3 2D．3
【解析】连接AD,取AD中点为O,可知△ABD为等腰三角形，而AB?BC,AD?CD，所以△BCD为等边三角形，BD?3.
r设uuuuuur DE?tDC?0?t?1?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur23uuuvuuuvuuuv2AE?BE ?AD?DE?BD?DE?AD?BD?DE?AD?BD?DE??BD?DE?DE
233=3t2?t? ?0?t?1?
22??????
所以当t?121时，上式取最大值，故选A. 416
【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.
8．【2018年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
a?3b?3a?b?a?3b?3a?b?a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b222，因为a，b均为单位向
量，所以a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b2?a?b=0? a⊥b，即“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 9．【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.
uuuruuuruuur若AP??AB??AD，则???的最大值为
A．3 C．5
B．22
D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设A?0,1?,B?0,0?,C?2,0?,D?2,1?,P?x,y?， 易得圆的半径r?242，即圆C的方程是?x?2??y2?，
55uuuruuuruuuruuuruuuruuurAP??x,y?1?,AB??0,?1?,AD??2,0?，若满足AP??AB??AD，
则??x?2?xx ，??,??1?y，所以?????y?1，
22?y?1???xx42?y?1，即?y?1?z?0，点P?x,y?在圆?x?2??y2?上， 225设z?2?z2x?所以圆心(2,0)到直线?y?1?z?0的距离d?r，即，解得1?z?3，
215?14所以z的最大值是3，即???的最大值是3，故选A．
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
uuuruuuruuur10．【2017年高考全国II卷理数】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是 A．?2 C．?
B．?3 24 3D．?1
【答案】B
【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
uuuruuuruuurA(0,3)PA?(?x,3?y)PB?(?1?x,?y)PC?(1?x,?y)，则，B(?1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，所以，，
22所以PB?PC?(?2x,?2y)，PA?(PB?PC)?2x?2y(3?y)?2x?2(y?uuuruuuruuuruuuruuur3233)???，当222
P(0,33)时，所求的最小值为?，故选B． 22【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
11．【2017年高考北京卷理数】设m,n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A
【解析】若???0，使m??n，则两向量m,n反向，夹角是180?，那么m?n?mncos180??
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
?mn?0；若m?n?0，那么两向量的夹角为?90?,180??，并不一定反向，即不一定存在负数?，使得m??n，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若p?q,q??p，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p?q，那么p，q互为充要条件；若p??q,q??p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:x?A,
q:x?B,若A?B，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若A?B，那么p，q互
?为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为?q是?p条件的判断.
12．b=0，若c?2a?5b，则cosa,c?___________. 【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·
【答案】
2 3【解析】因为c?2a?5b，a?b?0， 所以a?c?2a2?5a?b?2，
|c|2?4|a|2?45a?b?5|b|2?9，所以|c|?3，
a?c22??所以cosa,c? ． a?c1?33【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB?23,AD?5,?A?30?，点E在线
uuuruuur段CB的延长线上，且AE?BE，则BD?AE?___________．
【答案】?1
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，AB?23,因为AD∥BC，?BAD?30?，所以?ABE?30?， 因为AE?BE，所以?BAE?30?， 所以直线BE的斜率为AD?5,则B(23,0)，D(535,). 2233，其方程为y?(x?23)， 33直线AE的斜率为?33，其方程为y??x. 33?3(x?23),?y??3由?得x?3，y??1， ?y??3x?3?所以E(3,?1).
uuuruuur35所以BDgAE?(,)g(3,?1)??1.
22
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.
14．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.
若AB?AC?6AO?EC，则
uuuruuuruuuruuurAB的值是___________． AC
【答案】3. 【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．
uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur3uuu6AOgEC?3ADgAC?AE?AB?ACgAC?AE，
2??????ruuur3uuu?AB?AC2??r1uuur??uuug?AC?AB??3??ruuur1uuur2uuur21uuuruuur?3?uuu?ABgAC?AB?AC?ABgAC? 2?33?ruuur1uuur2uuur2?uuuruuur1uuur23uuur2uuuruuur3?2uuu??ABgAC?AB?AC??ABgAC?AB?AC?ABgAC， 2?3322?uuuruuurr23uuur21uuuAB?3 得AB?AC,即AB?3AC,故
22AC【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个?i(i?1,2,3,4,5,6)取遍??时，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur|?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD|的最小值是___________；最大值是___________．
【答案】0；25. 【解析】以AB, AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur则AB?(1,0),BC?(0,1),CD?(?1,0),DA?(0,?1),AC?(1,1),BD?(?1,1), uuuruuuruuuruuuruuuruuur令y??1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD?又因为?i(i?1,2,3,4,5,6)可取遍?1， ??1??3??5??6????2??4??5??6?22?00. 所以当?1??3??4??5??6?1,?2??1时，有最小值ymin?0. 因为??1??3??5?和??2??4??5?的取值不相关，?6?1或?6??1， 所以当??1??3??5?和??2??4??5?分别取得最大值时，y有最大值， 所以当????????1,?????1时，有最大值
y125634故答案为0；25. 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.
16．【2018年高考全国III卷理数】已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??___________．
【答案】
max?22?42?20?25. 1 211，故答案为. 22【解析】由题可得2a?b??4,2?，Qc∥?2a+b?，c=?1,λ?，?4??2?0，即??
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.
17．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点A??1，0?、B?2，0?，E、F是y轴上的两个动点，且
uuuruuuruuur|EF|?2，则AE?BF的最小值为___________．
【答案】-3
【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
uuur∴EF?a?b?2；
∴a=b+2，或b=a+2；
uuuruuur且AE??1,a?，BF???2,b?； uuuruuur∴AE?BF??2?ab；
uuuruuur2当a=b+2时，AE?BF??2??b?2??b?b?2b?2；
∵b2+2b﹣2的最小值为
?8?4??3； 4uuuruuuruuuruuur∴AE?BF的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE?BF的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
18．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y?2x上在第一象限内的点，B?5,0?，以ABuuuruuur为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB?CD?0，则点A的横坐标为___________．
【答案】3
【解析】设A?a,2a?(a?0)，则由圆心C为AB中点得C??a?5?,a?,易得2??eC:?x?5??x?a??y?y?2a??0，与y?2x联立解得点D的横坐标xD?1,所以D?1,2?.所以
uuuruuur?a?5?AB??5?a,?2a?,CD??1?,2?a?，
2??uuuruuur?a?5?2??2a2?a?0,a?2a?3?0,a?3或a??1， ????由AB?CD?0得?5?a??1??2??因为a?0，所以a?3.
【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
19．【2017年高考全国I卷理数】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
【答案】23 【解析】方法一：|a?2b|?|a|?4a?b?4|b|?4?4?2?1?cos60?4?12，
222o
所以|a?2b|?12?23.
方法二：利用如下图形，可以判断出a?2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为
23.
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
uuuruuuruuuruuuruuur20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的
夹角为?，且tan?=7，OB与OC的夹角为45°．若OC?mOA?nOB(m,n?R)，则m?n?___________．
uuuruuuruuuruuuruuur
【答案】3
【解析】由tan??7可得sin??272，cos??，根据向量的分解，
1010????ncos45??mcos??2?易得?，即???nsin45??msin??0???所以m?n?3．
22n?m?2?5n?m?1057210，即?，即得m?,n?，
44272?5n?7m?0n?m?0210【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通
过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．
（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
21．【2017年高考天津卷理】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2．若BD?2DC，AE??AC?
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________．
【答案】
uuuruuuruuur1uuur2uuur【解析】由题可得AB?AC?3?2?cos60??3,AD?AB?AC，
33uuuruuurr2uuuruuuruuur1uuu?2?123?4??9??3??4???． 则AD?AE?(AB?AC)(?AC?AB)??3?33333311【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的
3 11uuuruuur定比分点公式表示向量，则可获解．本题中AB,AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．
22．【2017年高考山东卷理数】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60?，则实数?的
值是___________． 【答案】3 3【解析】∵(3e1?e2)?(e1??e2)?3e12?3e1??e2?e1?e2??e22?3??，
|3e1?e2|?(3e1?e2)2?3e12?23e1?e2?e22?2，
|e1??e2|?(e1??e2)2?e12?2e1??e2??2e22?1??2，
?3???21??2?cos60??1??2，解得??3． 3【名师点睛】（1）平面向量a与b的数量积为a?b?|a||b|cos?，其中?是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0????180?. （2）由向量的数量积的性质有|a|?a?a，cos??a?b，a?b?0?a?b，因此，利用平面向量的数
|a||b|量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于?的方程求解. 23．【2017年高考浙江卷】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________，最大值是
___________．
【答案】4，25 【解析】设向量a,b的夹角为?，则a?b?12?22?2?1?2?cos??5?4cos?，
a?b?12?22?2?1?2?cos??5?4cos?，
则a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?， 令y?5?4cos??5?4cos?，则y2?10?225?16cos2???16,20?，
据此可得：a?b?a?b??max?20?25,?a?b?a?b?min?16?4，
即a?b?a?b的最小值是4，最大值是25．
【名师点睛】本题通过设向量a,b的夹角为?，结合模长公式，可得a?b?a?b?5?4cos??
5?4cos?，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
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