uuuruuuruuuruuuruuuruuur则AB?(1,0),BC?(0,1),CD?(?1,0),DA?(0,?1),AC?(1,1),BD?(?1,1), uuuruuuruuuruuuruuuruuur令y??1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD?又因为?i(i?1,2,3,4,5,6)可取遍?1, ??1??3??5??6????2??4??5??6?22?00. 所以当?1??3??4??5??6?1,?2??1时,有最小值ymin?0. 因为??1??3??5?和??2??4??5?的取值不相关,?6?1或?6??1, 所以当??1??3??5?和??2??4??5?分别取得最大值时,y有最大值, 所以当????????1,?????1时,有最大值
y125634故答案为0;25. 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想,从“基向量”入手,最后求不等式最值,是一道向量和不等式的综合题.
16.【2018年高考全国III卷理数】已知向量a=?1,2?,b=?2,?2?,c=?1,λ?.若c∥?2a+b?,则??___________.
【答案】
max?22?42?20?25. 1 211,故答案为. 22【解析】由题可得2a?b??4,2?,Qc∥?2a+b?,c=?1,λ?,?4??2?0,即??
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于基础题.解题时,由两向量共线的坐标关系计算即可.
17.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点A??1,0?、B?2,0?,E、F是y轴上的两个动点,且
uuuruuuruuur|EF|?2,则AE?BF的最小值为___________.
【答案】-3
【解析】根据题意,设E(0,a),F(0,b);
uuur∴EF?a?b?2;
∴a=b+2,或b=a+2;
uuuruuur且AE??1,a?,BF???2,b?; uuuruuur∴AE?BF??2?ab;
uuuruuur2当a=b+2时,AE?BF??2??b?2??b?b?2b?2;
∵b2+2b﹣2的最小值为
?8?4??3; 4uuuruuuruuuruuur∴AE?BF的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,AE?BF的最小值为﹣3.
故答案为:﹣3.
【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.
18.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y?2x上在第一象限内的点,B?5,0?,以ABuuuruuur为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB?CD?0,则点A的横坐标为___________.
【答案】3
【解析】设A?a,2a?(a?0),则由圆心C为AB中点得C??a?5?,a?,易得2??eC:?x?5??x?a??y?y?2a??0,与y?2x联立解得点D的横坐标xD?1,所以D?1,2?.所以
uuuruuur?a?5?AB??5?a,?2a?,CD??1?,2?a?,
2??uuuruuur?a?5?2??2a2?a?0,a?2a?3?0,a?3或a??1, ????由AB?CD?0得?5?a??1??2??因为a?0,所以a?3.
【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
19.【2017年高考全国I卷理数】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |=___________.
【答案】23 【解析】方法一:|a?2b|?|a|?4a?b?4|b|?4?4?2?1?cos60?4?12,
222o
所以|a?2b|?12?23.
方法二:利用如下图形,可以判断出a?2b的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为
23.
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时,常用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度.
uuuruuuruuuruuuruuur20.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的
夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°.若OC?mOA?nOB(m,n?R),则m?n?___________.
uuuruuuruuuruuuruuur
【答案】3
【解析】由tan??7可得sin??272,cos??,根据向量的分解,
1010????ncos45??mcos??2?易得?,即???nsin45??msin??0???所以m?n?3.
22n?m?2?5n?m?1057210,即?,即得m?,n?,
44272?5n?7m?0n?m?0210【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通
过向量的坐标运算,可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题,是此类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用:①载体作用,关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用,利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
21.【2017年高考天津卷理】在△ABC中,∠A?60?,AB?3,AC?2.若BD?2DC,AE??AC?
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB(??R),且AD?AE??4,则?的值为___________.
【答案】
uuuruuuruuur1uuur2uuur【解析】由题可得AB?AC?3?2?cos60??3,AD?AB?AC,
33uuuruuurr2uuuruuuruuur1uuu?2?123?4??9??3??4???. 则AD?AE?(AB?AC)(?AC?AB)??3?33333311【名师点睛】根据平面向量基本定理,利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量,利用向量的
3 11uuuruuur定比分点公式表示向量,则可获解.本题中AB,AC已知模和夹角,作为基底易于计算数量积.
22.【2017年高考山东卷理数】已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3e1?e2与e1??e2的夹角为60?,则实数?的
值是___________. 【答案】3 3【解析】∵(3e1?e2)?(e1??e2)?3e12?3e1??e2?e1?e2??e22?3??,
|3e1?e2|?(3e1?e2)2?3e12?23e1?e2?e22?2,
|e1??e2|?(e1??e2)2?e12?2e1??e2??2e22?1??2,
?3???21??2?cos60??1??2,解得??3. 3【名师点睛】(1)平面向量a与b的数量积为a?b?|a||b|cos?,其中?是a与b的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围:0????180?. (2)由向量的数量积的性质有|a|?a?a,cos??a?b,a?b?0?a?b,因此,利用平面向量的数
|a||b|量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
(3)本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换,应用平面向量的夹角公式,建立关于?的方程求解. 23.【2017年高考浙江卷】已知向量a,b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________,最大值是
___________.
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