高中数学复习专题系列讲座 题目 高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数问题 学生巩固练习
1 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( )
－A g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2)
11［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］ 22xxxxC g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－ D g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+
2222B g(x)=
2 当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD
?2x (x?0)－
3 已知函数f(x)=? 则f-1(x－1)=_________
(?2?x?0)?log2(?x) 4 如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩
－余的水符合指数衰减曲线y1=aent,那么桶2中水就是
－y2=a－aent,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，
y1=ae-nt桶1a则再过_________分钟桶1中的水只有 825 设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点桶2P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点 (1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围 6 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断
y=a-ae-ntx?x21［f(x1)+f(x2)］与f(1)的大小，并加以证明 227 已知函数x,y满足x≥1,y≥1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围
8 设不等式2(log1x)2+9(log1x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数
22f(x)=(log2
x)(logx)的最大、最小值
2
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高中数学复习专题系列讲座 参考答案
1 解析 由题意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
－－又g(－x)+h(－x)=lg(10x+1) 即－g(x)+h(x)=lg(10x+1) ②
由①②得 g(x)=
xx,h(x)=lg(10x+1)－ 22答案 C
2 解析 当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数
答案 B
3 解析 容易求得f-
－1
(x)=?(x?1)?log2x (x?1)??2
x,
从而 f1(x－1)=?－
?log2(x?1),(x?2)??2x?1, (x?2).
答案 ??log2(x?1),(x?2)??2x?1, (x?2)4 解析 由题意，5分钟后，y1=ae
－nt
,y2=a－ae
－nt
,y1=y2
1aln2 设再过t分钟桶1中的水只有, 58a－
则y1=aen(5+t)=,解得t=10
8∴n=
答案 10
5 解 (1)设点Q的坐标为(x′,y′),
则x′=x－2a,y′=－y 即x=x′+2a,y=－y′ ∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，
11,∴g(x)=log a2x?ax?a11(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,
x?a(a?3)?a∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga
又a>0且a≠1,∴0＜a＜1, ∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga
1| x?a=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,
∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,
∵0＜a＜1,∴a+2>2a f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数， ∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，
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高中数学复习专题系列讲座 从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),
?0?a?1?于是所求问题转化为求不等式组?loga(9?6a)??1的解
?log(4?4a)?1?a由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤
9?57, 124, 59?57∴所求a的取值范围是0＜a≤
126 解 f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
x1?x22
)(当且仅当x1=x2时取“=”号)， 2x?x22
当a>1时，有logax1x2≤loga(1),
2x?x2x?x211∴logax1x2≤loga(1)，(logax1+logax2)≤loga1, 2222x?x21即[f(x1)+f(x2)］≤f(1)(当且仅当x1=x2时取“=”号) 22x?x22
当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga(1),
2x?x2x?x211∴(logax1+logax2)≥loga1,即［f(x1)+f(x2)］≥f(1)(当且2222∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(
仅当x1=x2时取“=”号）
7 解 由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即(logax－1)2+(logay－1)2=4,
令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v 在直角坐标系uOv内，
圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点， 分两类讨论
(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得
1+3≤k≤2(1+2);
(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－2)≤k≤1－3
综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3；
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高中数学复习专题系列讲座 当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－3，最小值为2－22
8 解 ∵2(log1x)2+9(log1x)+9≤0
22∴(2log31x+3)( log1x+3)≤0 ∴－3≤log1x≤－2222 3即log1－3≤log1?1 ()≤log1x1()2
222221?3∴(212)≤x≤(2)－
3,∴22≤x≤8
即M={x|x∈［22,8］}
又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1 ∵22≤x≤8,∴
32≤log2x≤3 ∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0
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