＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1时成立．
由①②得，当n≥2时，4>4n＋1成立． 综上，当n＝1时，T2n<2n＋，
3当n≥2时，T2n>2n＋.
3
思维升华 在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n＝k＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．
111131*
已知f(n)＝1＋3＋3＋3＋…＋3，g(n)＝－2，n∈N.
234n22n(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)，
911
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2) 88251312 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝， 216216所以f(3) (2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明 ①当n＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立， 111131 即1＋3＋3＋3＋…＋3<－2， 234k22k那么，当n＝k＋1时， 2 2 nnnf(k＋1)＝f(k)＋ 因为2＝＝ 1k＋1 3 1k＋1 3 311<－2＋22kk＋1 3 3 ， 2 1 －(2－2k12 2k1k＋1 ) k＋32k＋1 － －3k－1 32<0. 2k＋1k1k＋1 23 所以f(k＋1)<－ 22 ＝g(k＋1)， 即当n＝k＋1时，不等式成立． 9 由①②可知，对一切n∈N，都有f(n)≤g(n)成立． 1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式． 2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明． (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略． (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论． * 真题感悟 1．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c， d)的个数是________． 答案 6 解析 由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2， d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在； (2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组． (3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组． (4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组． 综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组． 2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据： 10 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________． 答案 F＋V－E＝2 解析 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2. 押题精练 1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A．2C．2 n－1 B．2 D．2 n＋2 nn＋1 答案 A 解析 由已知条件得： 圆周上的点数 2 3 4 5 … 连成的弦数 2×11＝ 23×23＝ 24×36＝ 25×410＝ 2… 把圆面分成的部分数 2＝2＝24＝2＝28＝2＝243212－1 3－14－116＝2＝2… 5－1由此可以归纳出，当点数为n时，连成的弦数为故选A. nn－12 ；弦把圆面分成的部分数为2 n－1 ， 2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项， k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]， 1 由此得1×2＝(1×2×3－0×1×2)， 31 2×3＝(2×3×4－1×2×3)， 3… 11 13 n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]． 1 相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)． 3 类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”的结果为____________． 1 答案 n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 4 1 解析 类比k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]， 3 1 可得到k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]， 41 先逐项裂项，然后累加即得n(n＋1)(n＋2)(n＋3)． 4 13 (推荐时间：50分钟) 一、选择题 1．下列推理是归纳推理的是( ) A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 x2y2 C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab ab2 2 2 2 D．以上均不正确 答案 B 解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理． 2．观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，…，则a＋b等于( ) A．28 C．123 答案 C 解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项． 继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a＋b＝123. 13．已知x>0，观察不等式x＋≥23xx414xx4 x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··2＝3，…，由xx22x22x12 10 10 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 B．76 D．199 x
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