AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；
②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=ACG和△DEG的面积之比．
【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠B， ∵∠APB=28°， ∴∠B=76°， 如图1，连接MD，
﹣1，进而得出S△ACG=CG×CH=
，再根据S△DEG=
，即可得到△
∵MD为△PAB的中位线， ∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°， ∴
（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B， ∴∠BAP=∠ACB， ∵∠BAP=∠B， ∴∠ACB=∠B， ∴AC=AB；
=2∠MDB=56°；
数学试题卷（W Z ）第25页（共4页）
（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线， ∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD， ∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°， ∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2， ∴1+MR=2+PR， ∴1+（4﹣PR）=2+PR， ∴PR=∴MR=
， ，
2
2
2
2
2
2
2
2
Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径， ∴Q与R重合， ∴MQ=MR=
；
Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，
数学试题卷（W Z ）第26页（共4页）
在Rt△QCP中，PQ=2PR=∴MQ=；
，
Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4， ∴BP=
，
， =
，
∴DP=BP=∵cos∠MPB=∴PQ=∴MQ=
， ；
Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°， ∴MQ=
；
或或
；
综上所述，MQ的值为
数学试题卷（W Z ）第27页（共4页）
②△ACG和△DEG的面积之比为理由：如图6，∵DM∥AF， ∴DF=AM=DE=1， 又由对称性可得GE=GD， ∴△DEG是等边三角形， ∴∠EDF=90°﹣60°=30°， ∴∠DEF=75°=∠MDE， ∴∠GDM=75°﹣60°=15°， ∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°， ∴GMD=∠GDM， ∴GM=GD=1， 过C作CH⊥AB于H，
．
由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=∴CG=MH=
﹣1，
，
，
∴S△ACG=CG×CH=∵S△DEG=
，
∴S△ACG：S△DEG=．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．
数学试题卷（W Z ）第28页（共4页）
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