第4章 导数的应用
内容提要
本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。 （一）函数性态的研究 1．函数的单调性
设函数 在闭区间 上连续，开区间 可导，若在 上有 （或 ），则 在 上严格单调增加（或严格单减）。
注意：保证 严格单调增加的条件 可以放宽为 ，且使 的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件 可放宽为 ，且使 的点不形成区间。 2. 函数的局部极值
（1）极值点的定义：若函数 在点 的某邻域 有定义，且对一切 成立 （或 ），则称 在 取得[严格]极大值（或极小值），称 为 的[严格]极大点（或极小点）。若将“<”（或“>”）用“ ”（或“ ”）代替，则称为非严格意义下的极值。 （2）极值点的必要条件：函数 的极值点必定是它的驻点或不可微点。 （3）判别极值得充分条件
一阶充分条件：设 在 处连续，并且在 的某 去心邻域 内可导，则有以下结论成立：
（i）若当 时， ；当 时， ，则 在 处取得极大值。 （ii）若当 时， ；当 时， ，则 在 处取得极小值。 （iii）若在 的两旁， 不变号，则 在 处不取得极值。
第 1 页
二阶充分条件：设 在点 的某邻域内可导， ， 存在，则有以下结论成立：若 ，则 是函数的极大值点。若 ，则 是函数的极小值点。若 ，则对 无明确结论。 3. 函数的凹凸性和拐点 （1）函数的凹凸性的定义
如果在 上，曲线 始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称该曲线在 上是凸的（或凹的）。函数 称为 上的凸函数（或凹函数）。 （2）凸函数的性质
（a）若 是 上的凸函数，则对任意 及 有
（b）若 是 上的凸函数,并且在 上可导，则 在 上单调不减。 （c）若 是 上的凸函数，则对任意不相等的 及 ，有 。 （3）凹凸性判别的充分条件
设 在 上二阶可导，若在 上， ，则 在 上是凸的； 若在 上， ，则 在 上是凹的。 （4）拐点
拐点的定义：若连续曲线 在点 的近旁发生凹凸性改变，则称点 为曲线 的拐点。 拐点的必要条件：若点 是曲线 的拐点，则 是使 的点或者是使 不存在的点。 拐点判别的充分条件：设 在 的某邻域内二阶可导（ 处 可以不存在，但 在 处连续），若 在 的两旁符号发生改变，则点 是曲线 的拐点。 4. 函数作图的步骤
（1） 确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求出 及 。
（2） 在函数的定义域内求出方程 和 的根，以及一阶，二阶导数不存
第 2 页
在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。
（3） 列表并在每一个部分区间内确定 ， 的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。 （4） 确定函数图形的渐近线。
（5） 标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），（4）的结果，光滑的连接这些点作出 的图形。 （二） 函数的最值
由于开区间内的最值点也为极值点，所以 在计算 上的最值可按以下步骤进行： (1) 求出 在 内的所有驻点和导数不存在的点，即求出 在 内的所有可能的极值点。
(2) 计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。
(3) 比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为 在 上的最大值和最小值。 在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。 （三） 相关变化率问题的处理方法
根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。 （四） 平面曲线的曲率 1．曲率的定义： 2．弧微分公式：
（1）若曲线方程为 ，则 ，
其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。
第 3 页
相关推荐：
loading