2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

all~试题 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为 . (2) 已知f?(e)?xex?x，且f(1)?0, 则f(x)? . 22(3) 设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分为 .

?xdy?2ydx的值

Ld2ydy?4x?2y?0(x?0)的通解为 . (4) 欧拉方程x2dxdx2?210???矩阵满足ABA*?2BA*?E，

(5) 设矩阵A?120，其中A*为A的伴随矩阵，EB????001??是单位矩阵，则B?

(6) 设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}= .

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把x?0时的无穷小量????x0costdt,???tantdt,???sint3dt，排列起来，

002x2x使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )

(A)?,?,?. (B)?,?,?. (C)?,?,?. (D)?,?,?.

(8) 设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得 ( )

(A)f(x)在(0，?)内单调增加. (B)f(x)在(??,0)内单调减少. (C)对任意的x?(0,?)，有f(x)?f(0) . (D)对任意的x?(??,0)，有f(x)?f(0) . (9) 设

?an?1?n为正项级数，下列结论中正确的是 ( )

?(A) 若limnan=0，则级数

n???an?1n收敛.

梦想不会辜负每一个努力的人

1

all~试题 (B) 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数

n????an?1?n发散.

(C) 若级数

?an?1?n收敛，则limnan?0.

n??2(D) 若级数

?an?1n发散, 则存在非零常数?，使得limnan??.

n??(10) 设f(x)为连续函数，F(t)??t1dy?f(x)dx，则F?(2)等于 ( )

yt(A) 2f(2). (B) f(2). (C) ?f(2). (D) 0.

(11) 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为 ( )

?010??010??010??011?????????(A)100 (B)101. (C)100. (D)100. ?????????????101???001???011???001??

(12) 设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵，则必有 ( )

(A) (B) (C) (D)

A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

(13) 设随机变量X服从正态分布N(0,1))，对给定的?(0???1)，数u?满足

P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于( )

(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? .

2

1n(14) 设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，

ni?12则( )

(A) Cov(X1,Y)??2n. (B) Cov(X1,Y)??2.

梦想不会辜负每一个努力的人

2

all~试题 (C) D(X1?Y)?n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. nn

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分12分)

设e?a?b?e, 证明lnb?lna?2224(b?a). e2

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km. 经测试，减速伞打开后，

h飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?10). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注kg表示千克，

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

I?6kgh表示千米/小时.)

??2xdydz?2ydzdx?3(z?22332?1)dxdy,

其中?是曲面z?1?x?y(z?0)的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当

?收敛. ??1时，级数?xnn?1?n

(19)(本题满分12分)

设z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

222梦想不会辜负每一个努力的人

3

all~试题 ?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

(n?2)

?12?3???设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似????1a5??对角化.

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件，且P(A)? X??111,P(BA)?,P(AB)?，令 432?1,A发生,?1,B发生, Y??

0,0,?A不发生;?B不发生.求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布； (II)X和Y的相关系数?XY.

(23)(本题满分9分)

1??1??,x?1,设总体X的分布函数为 F(x;?)?? xx?1,?0,?其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，

求：(I) ?的矩估计量； (II) ?的最大似然估计量.

梦想不会辜负每一个努力的人

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all~试题 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】y?x?1

【详解】方法1：因为直线x?y?1的斜率k1??1，所以与其垂直的直线的斜率k2满足

k1k2??1，所以?k2??1，即k2?1，

曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程的斜率为1，即

y??(lnx)??1?1，得x?1，把x?1代入y?lnx，得切点坐标为(1,0)，根据点斜x式公式得所求切线方程为：y?0?1?(x?1)，即y?x?1

方法2：本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y?lnx过此切点的导数为y?x?x0?1?1，x0得x0?1，所以切点为(x0,lnx0)??1,0?，由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.

(2)【答案】

1(lnx)2 2【详解】 先求出f?(x)的表达式，再积分即可. 方法1：令e?t，则x?lnt，e1lntlnx，即f?(x)??，于是有f?(t)?.

ttxlnx1两边积分得 f(x)??dx??lnxdlnx?(lnx)2?C.

x212利用初始条件f(1)?0, 代入上式：f(1)?(ln1)?C?C?0，即C?0，故

212所求函数为 f(x)= (lnx).

2x?xxx?x方法2：由x?lne，所以f?(e)?xe

(3)【答案】

?lne?ex?xlnexlnx?x，所以f?(x)?.下同. ex3? 2【详解】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.

梦想不会辜负每一个努力的人

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all~试题 L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，用参数式可表示为

?x?2cos?,??y?2sin?,??:0??2.

于是

?Lxdy?2ydx??0?20?2cos?d2sin??22sin?d2cos?? ????2[2cos??2cos??22sin??2sin?]d?

??2[2cos??4sin?]d???2[2?cos2??sin2???2sin2?]d?

22002?2?1?cos2??d? ??2[2?2sin?]d???22d???22sin?d??2?0?220000????????????20?1?3?12??cos2?d2???sin2?02

0222?

3?13?3? ??sin??sin0???0?2222c1c2? xx2t(4)【答案】y?【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x?e化为常系数线性齐次微分方程即可.

令x?e，有t?lnx,?tdt1dydydt1dy， ?，则 ???dxxdxdtdxxdtd2yd?1dy?1dy1d?dy???duv?vdu?udv????????? dx2dx?xdt?x2dtxdx?dt?1dy1d?dy?dt1dy1d2y1?d2ydy???2???2?22?2?2?? ???xdtxdt?dt?dxxdtxdtx?dtdt?1?d2ydy?1dy?4x??2y?0，整理得 代入原方程：x?2?2??x?dtdt?xdt2d2ydy?3?2y?0，

dtdt2此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为r?3r?2?0，所以特征根为：

2d2ydyr1??1,?r2??2?，r1??r2，所以2?3?2y?0的通解为

dtdty?c1er1t?c2er2t?c1e?t?c2e?2t

梦想不会辜负每一个努力的人

6

all~试题 又因为x?e，所以e11?,?e?2t?2，代入上式得 xxccy?c1e?t?c2e?2t?1?2. 2xxt?t

(5)【答案】【详解】

方法1：已知等式两边同时右乘A，得ABA*A?2BA*A?A，

由伴随矩阵的运算规律：A*A?AA*?AE，有ABA?2BA?A，而

1 921A?120?(?1)3?3?2?2?1?1?3，

12001于是有 3AB?6B?A，移项、合并有 (3A?6E)B?A，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有

210(3A?6E)B?3A?6EB?A?3，

?210??100??630??600?030????????而 3A?6E?3120?6010?360?060?300 ???????????001???001????003????006??00?3?(?1)3?3(?3)0330?(?3)?3?3?27，

故所求行列式为B?A31? ?3A?6E279*****方法2：由题设条件ABA?2BA?E，得 ABA?2BA?(A?2E)BA?E

由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 (A?2E)BA*?A?2EBA*?E?1

其中A?12120?(?1)3?3?2?2?1?1?3；

12001?n?1210由伴随矩阵行列式的公式：若A是n阶矩阵，则 A?A.

梦想不会辜负每一个努力的人

7

all~试题 所以，A?A?3?1102=1. ?A=9 ； 又 A?2E?100?(?1)1?201001010故B?

(6)【答案】

11. ??9A?2EA1 e【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为

??x?1??e,若x?0f(x)??，其方差DX?2.

?若x?0??0于是，由一维概率计算公式，P?a?X?b???bafX(x)dx，有

??1??1??x??xP{X?DX}P{X?}??edx?e ==1?????1 e

二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】

?方法1：lim?limx?0?x?0????0x2xtantdtcost2dt?洛必达?lim?x?0tanx?2x?0，则?是?的高阶无穷小，2cosx0根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，

?又lim?limx?0?x?0????x0x2sintdt3sinx??洛必达?lim?x?03210tantdt2x 2xtanx?等价无穷小替换?1xlim??， 4x?0?x2可见?是比?低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用x(当x?0时)去比较.

kx?0?lim?xk??limx?0?x0cost2dtxk洛cosx2limk?1, x?0?kx梦想不会辜负每一个努力的人

8

all~试题 limcost2?cost2x欲使上式极限存在但不为0，应取k?1，有lim?lim??0?1， 00??x?0xx?0xlimx??x?0所以(当x?0时)?与x同阶.

?tanx?2xx?2x2?lim?lim kk?1k?3x?0xx?0?x?0x?0?kxx?0?kxxkkxk?1?2tanx2tanx2欲使上式极限存在但不为0，应取k?3, 有lim?lim?lim?， 33?2x?0?xx?0?3xx?0?3x3lim?0???limx2tantdt洛lim?所以(当x?0时)?与x同阶.

?3x?xx?lim, kk?1k?1x?0xx?0x?0x?02kxx?0?2kxxk?x1欲使上式极限存在但不为0，应取k?2, 有lim， ?lim?22?1x?0?xx?0?2?2x4lim??lim?0??xsint3dt洛lim?sinx?x2kxk?132?12?lim?32?12所以(当x?0时)?与x同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是

?2?,?,?，选(B).

(8)【答案】 (C)

【详解】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).

由导数的定义，知 f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0

xf(x)?f(0)?0.

x根据极限的保号性，知存在??0，当x?(??,0)?(0,?)时，有

即当x?(??,0)时，x?0，有f(x)?f(0)；而当x?(0,?)时，x?0有f(x)?f(0).

(9)【答案】 (B)

【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项. 方法1：排除法. 取an??1，则limnan=0，

n???n?1?ln?n?1??????p?1?收敛，当11又?，所以发散，排除A，D； a????npn?1lnn?1n?1lnn?1???p?1????发散，当???n?1?n?1n?1?1又取an?，因为p级数?pnnn?1n1??????p?1?收敛，当1，则级数?an??收????p?1n?1n?1nn?发散，当梦想不会辜负每一个努力的人

9

all~试题 敛，但limnan?limn?n??n??221nn?limn??，排除(C), 故应选(B).

n???an1方法2：证明(B)正确. limnan???0,即lim??.因为?发散，

n??1n??n?1nn?由比较判别法的极限形式知，

?an?1n也发散，故应选(B)..

(10)【答案】(B)

【详解】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:

[?b(x)a(x)f(t)dt]??f[b(x)]b?(x)?f[a(x)]a?(x)

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.

方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t，其他地方不出现t

?y?x?t?1?x?t由F(t)??dy?f(x)dx知：?，交换积分次序?，得

1y1?y?t1?y?x??ttF(t)??dy?f(x)dx=?1[?1f(x)dy]dx??1f(x)(x?1)dx

1ytttxt于是，F?(t)?f(t)(t?1)，从而有 F?(2)?f(2)，故应选(B). 方法2：设??(x)?f(x)，于是

F(t)??dy?f(x)dx??1yt1ttt1dy???(x)dx??dy?d?(x)

y1yt1ttt??[?(t)??(y)]dy??(t)(t?1)???(y)dy

所以 F?(t)???(t)(t?1)??(t)??(t)?f(t)(t?1), 所以 F?(2)?f(2)，选(B).

(11)【答案】(D)

【详解】由题设，将A的第1列与第2列交换，即

?010???B，

AE12?A?100????001??将B的第2列加到第3列，即

梦想不会辜负每一个努力的人

10

all~试题 ?100??010??100??011???A?100??011??A?100??AQ.

B?011????????????001???001????001???001???011???故Q?100，应选(D). ????001??

(12)【答案】(A)

【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A为m?n矩阵，B 为n?p矩阵，如果AB?0，

则r(A)?r(B)?n

设A为m?n矩阵，B为n?s矩阵，由AB?0知，r(A)?r(B)?n，其中n是矩阵A的列数，也是B的行数

因A为非零矩阵，故r(A)?1，因r(A)?r(B)?n，从而r(B)?n?1?n，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B的行向量组线性相关.

因B为非零矩阵，故r(B)?1，因r(A)?r(B)?n，从而r(A)?n?1?n，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A的列向量组线性相关.

故应选(A). 方法2：设A为m?n矩阵，B为n?s矩阵，将B按列分块，由AB?0得，

AB?A??1,?2,L,?s??0,A?i?0,i?1,2,L,s.

因B是非零矩阵，故存在?i?0，使得A?i?0. 即齐次线性方程组Ax?0有非零解. 由齐次线性方程组Ax?0有非零解的充要条件r(A)?n, 知r(A)?n. 所以A的列向量组线性相关.

T又(AB)?BA?0，将A按列分块，得

TTBTAT?BT[?1T,?2,L,?m]?0,BT?iT?0,i?1,2,L,m.

TTT因A是非零矩阵，故存在?i?0，使得B?i?0，即齐次线性方程组Bx?0有

TTT非零解. 由齐次线性方程组Bx?0有非零解的充要条件，知B的列向量组线性相关，由B是由B行列互换得到的，从而B的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 A?(aij)m?n,B?(bij)n?s, 将A按列分块，记 A??A1TTA2LAn?

梦想不会辜负每一个努力的人

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all~试题 由AB?0??A1A2L?b11b12?bbAn??2122?????bn1bn2LLLLb1s??b2s? ???bns? ??b11A1?L?bn1An,L,b1sA1?L?bnsAn??0 (1)

由于B?0, 所以至少有一个 bij?0(1?i?n,1?j?s), 又由(1)知,

b1jA1?b2jA2?L?bijAi?L?bnjAn?0, 所以A1,A2,L,Am线性相关. 即A的列向

量组线性相关.

n(向量组线性相关的定义：如果对m个向量?1,?2,L,?m?R，有m个不全为零

的数k1,k2,L,km?R，使k1?1?k2?2?km?m?0成立，则称?1,?2,L,?m线性相关.)

?B1???B2又将B按行分块，记 B???, 同样，

?M????Bn??a11a12?aa22AB?0??21?????am1am2LLLLa1n??B1??a11B1?a12B2?L?a1nBn??????a2n??B2??a21B1?a22B2?L?a2nBn???0 ?????L?M??????aB?aB?L?aBamn??Bn??mnn??m11m22由于A?0,则至少存在一个aij?0(1?i?m,1?j?n), 使

ai1B1?ai2B2?aijBj?L?ainBn?0,

由向量组线性相关的定义知，B1,B2,L,Bm线性相关, 即B的行向量组线性相关，

故应选(A).

方法4：用排除法.取满足题设条件的A,B.

?00??00??100??10??0，有AB??100??10??0,

?0,B?取A????100??????100??????01???01??A的行向量组，列向量组均线性相关，但B的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.

梦想不会辜负每一个努力的人

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all~试题 ?11??11?010?010????00??0，有AB??00??0，

?0,B?又取A????001??????001??????00???00??A的行向量组线性无关，B的列向量组线性相关，故(C)不成立.

由排除法知应选(A).

(13)【答案】C

【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x?0有

P?X?x??P?X??x??1P?X?x?.或直接利用图形求解. 2方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是

1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x}

即有 P{X?x}?方法2：

1??，可见根据分位点的定义有x?u1??，故应选(C). 22y f(x) P?X?u???? f(x) y P?X?x???

1?? 2O O 图1 图2

x x 如图1所示题设条件. 图2显示中间阴影部分面积?，P{X?x}??.两端各余面积

1??，所以P{X?u1??}??，答案应选(C). 22

(14)【答案】A.

【详解】由于随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，所以必有：

??2, i?jCov(Xi,Xj)??

0, i?j?n?n?n22又 D??aiXi???aiD(Xi)???ai2

i?1?i?1?i?1梦想不会辜负每一个努力的人

13

all~试题 下面求Cov(X1,Y)和D(X1?Y).

1n而Y??Xi,故本题的关键是将Y中的X1分离出来，再用独立性来计算.

ni?1对于选项(A)：

1n11n11Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,X1)??Cov(X1,Xi)?DX1??2

ni?1nni?2nn所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X与Y独立时，有D(X?Y)?D?X??D?Y?. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：

1?n11(1?n)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2?L?Xn)???2?

nnnn2nn2?3n2n?32???， =

nn2n?111(n?1)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?2n2n?22???. =

nn2所以本题选 (A)

三、解答题

(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

方法1：因为函数f?x??lnx在[a,b]?e,e2上连续，且在?a,b?内可导，所以满足拉

2??格朗日中值定理的条件，

对函数f?x??lnx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

22ln?ln2b?ln2a??ln2????b?a???b?a?,??e?a???b?e2

?下证：

2ln???4. e2设?(t)?lnt1?lnt，则??(t)?，当t?e时，即??(t)?0, 1?lnt?1?lne?0 ，2tt2所以?(t)单调减少，又因为??e，所以?(?)??(e)，即

14

2梦想不会辜负每一个努力的人

all~试题 lne222ln?4?2?2，得?2 ??eeeln?故 lnb?lna?224(b?a). 2e2方法2：利用单调性， 设?(x)?lnx?42，证在区间内严格单调增即可. ?(x)xe,e??2elne2444lnx41?lnx2, ??(x)?2?2，(??(e)?22?2?2?2?0，)???(x)?22eeeexex当x?e时，从而当e?x?e时，???(x)?0, 故??(x)单调减少，1?lnx?1?lne?0，

2??(x)???(e2)?0，即当e?x?e2时，?(x)单调增加.

因此当e?x?e时，?(b)??(a)，即lnb?故 lnb?lna?2222442b?lna?a， e2e24(b?a). 2e4lnx41?lnx22方法3：设?(x)?lnx?lna?2(x?a), 则??(x)?2, ?2，???(x)?22xexe?x?e时, 1?lnx?1?lne?0，得???(x)?0，

???(x)在(e,e2)上单调减少, 从而当e?x?e2时, ??(x)???(e2)?44?2?0，2ee??(x)在(e,e2)上单调增加. 从而当e?a?x?b?e2时, ?(x)??(a)?0. ??(b)?0，即ln2b?ln2a?4(b?a). e2

(16)【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量m?9000kg，着陆时的水平速度v0?700km/h. 从飞机接触

跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)，则 v(0)?v0,x(0)?0.

dvdvdvdxdv??kv. 又???v. dtdtdxdtdxmm由以上两式得 dx??dv，积分得 x(t)??v?C.

kkmm由于v(0)?v0,x(0)?0，所以x(0)??v0?C?0. 故得C?v0，

kkm从而 x(t)?(v0?v(t)).

k根据牛顿第二定律，得m当v(t)?0时， x(t)?mv09000?700??1.05(km). 6k6.0?1015

梦想不会辜负每一个努力的人

all~试题 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2： 根据牛顿第二定律，得 m分离变量：

dv??kv, dtdvkk??dt，两端积分得：lnv??t?C1， vmm，代入初始条件vt?0通解：v?Cek?tm?v0，解得C?v0，故v(t)?v0ek?tm.

飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到v?0，对应地t???. 于是由dx?vdt，有

x??v(t)dt??v0e00????k?tmktmv0?mdt??ek???0mv0?1.05(km). kkk?t?ttkv?tdx?v0em，知x(t)??v0emdt??0(em?1)，故最长距离为或由v?t??0mdtk当t??时，x(t)?kv0?1.05(km). md2xdxdvdx方法3：由m，化为x对t的求导，得m2??k, 变形为 ??kv ，v?dtdtdtdtd2xkdx??0，v(0)?x?(0)?v0,x(0)?0 2mdtdt?tkk其特征方程为 ????0，解之得?1?0,?2??，故x?C1?C2em.

mmk2 由 xt?0?0,vt?0ktkC2?mdx???edtt?0mk?v0，得C1??C2?t?0mv0, k?tmv0mv0mx(t)?(1?e). 当t???时，x(t)??1.05(km). 于是

kk所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用. 方法1：加、减曲面片高斯公式. 取?1为xoy平面上被圆x?y?1所围部分的下侧，记?

为由?与?1围成的空间闭区域，则

22I????1??2xdydz?2ydzdx?3(z332?1)dxdy

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16

all~试题 ???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy?I1?I2

?1由高斯公式：设空间闭区域?是由分段光滑的闭曲面?所围成，函数

P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在?上具有一阶连续偏导数，则有

??P?Q?R?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????dv ò??????x?y?z????这里P?2x,?Q?2y,R??3(z?1)，所以 I1?332?P?Q?R?6x2,?6y2,?6z2， ?x?y?z???6(x?2?y2?z)dv

?x?rcos??利用柱面坐标：?y?rsin?,???0?r?1,??0???2?,?dv?rdrd?dz，有：

?z?z?I1????6(x?y?z)dxdydz=6?d??dr??00222?11?r20(z?r2)rdz

1?z??12??r??r2z?0?2?021?r2dr?12??r011?1?r?222?r3?1?r2?dr

23?1?r?r4r6??11?12??????? ?12???2?

?46346???0记D为?1在xoy平面上的投影域D?又?1为z?0(x?y?1)的下侧，从而：

22??x,y?x2?y2?1，则z?0，dz?0，

?I2???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy????3?0?1?dxdy?3??dxdy?3?

?1DD(其中

1为半径为1圆的面积，所以dxdydxdy???1??) ????DD故 I?I1?I2?2??3????.

方法2：用转换投影法：若z?z?x,y?，z对x,?y具有一阶连续偏导数，则

dzdx???z?zdxdy,???dydz??dxdy. ?x?y?z?z??2x,??2y，由转换投影公式 ?x?y17

曲面

?1:z?1?x2?y2,(x2?y2?1),梦想不会辜负每一个努力的人

all~试题 I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy

????[2x3(???z?z)?2y3(?)?3(z2?1)]dxdy ?x?y???[4x4?4y4?3(1?x2?y2)2?3]dxdy

D利用极坐标变换：?2?1?x?rcos?,???0?r?1,??0???2?,?dxdy?rdrd?，所以

?y?rsin?I??d??[4r4cos4??4r4sin4??3(1?r2)2?3]rdr

00??d??[4r5cos4??4r5sin4??3(r5?2r3)]dr

002?14413??(cos4??sin4???)d?066222?4??cos2??sin2??2?2cos2?sin2??d??2?d? ???0??06??2?422???1?2cos?sin???d??2? 06?42?12???d???cos2?sin22?d??2? 60304?12?????1?cos4??d??2? 3604??12?12????2???cos4?d?????sin4?0 336024????0???

2?

或

2??42?0??31?44444(cos??sin?)d?直接利用公式?2cos?d???2sin4?d????及

0042266?40?0?0cos?d??4?2cos?d??4?2sin4?d???sin4?d?

02?444431?4(cos??sin?)d??2?4?????? ?0666422所以，原式???2????

则

2?

(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用比较法判定.

零点定理：设函数f?x?在闭区间?a,?b?上连续，且f?a??f?b??0，那么在开区间

?a,?b?内至少存在一点?，使f????0；单调性：设函数f?x?在闭区间?a,?b?上连续，在?a,?b?内可导，如果在?a,?b?内f??x??0，那么函数f?x?在?a,?b?上单调增加；比较审敛

梦想不会辜负每一个努力的人

18

all~试题 法：设

?un?1?n和

?vn?1?n都是正项级数，且un?vn，若级数

?vn?1?n收敛，则级数

?un?1?n收敛.

n【证明】记fn(x)?x?nx?1，则fn(x)是连续函数，由fn(0)??1?0，

fn(1)?n?0，对照连续函数的零点定理知，方程xn?nx?1?0存在正实数根xn?(0,1).

n?1当x?0时，fn?(x)?nx?n?0，可见fn(x)在[0,??)上单调增加, 故方程

xn?nx?1?0存在惟一正实数根xn.

n1?xn1?，故当??1时，函数y?x?单调由x?nx?1?0与xn?0知0?xn?nnn??11??增，所以0?xn?(). 而正项级数??收敛，所以当??1时，级数?xn收敛.

nn?1nn?1?

(19) 【分析】根据极值点存在的充分条件：

设函数z?f(x,y)在点?x0,y0?的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

fx(x0,y0)?0,?fy(x0,y0)?0，令fxx(x0,y0)?A,?fxy(x0,y0)?B,?fyy(x0,y0)?C，则

z?f(x,y)在?x0,y0?处是否取得极值的条件如下：

(1)AC?B?0时具有极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值； (2)AC?B?0时没有极值；

(3)AC?B?0时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.

所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.

【详解】因为 x?6xy?10y?2yz?z?18?0，所以

两边对x求导：2x?6y?2y222222?z?z?2z?0， ① ?x?x?z?z?2z?0. ② ?y?y两边对y求导：?6x?20y?2z?2y梦想不会辜负每一个努力的人

19

all~试题 ??z?0??x?3y,?x?3y?0??x根据极值点存在的充分条件，令 ?，得 ?，故 ?

?z??3x?10y?z?0?z?y.??0???y将上式代入x?6xy?10y?2yz?z?18?0，可得

222?x?9,??y?3, 或 ?z?3??x??9,??y??3, ?z??3.?对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对x,y求偏导数，②分别对x,y求偏导数

?2z?z2?2z①式对x求导： 2?2y2?2()?2z2?0，

?x?x?x?z?2z?z?z?2z?2y?2??2z?0, ②式对x求导：?6?2?x?x?y?y?x?x?y?z?2z?z?z?2z?2y?2??2z?0, ①式对y求导： ?6?2?x?x?y?y?x?x?y?z?z?2z?z2?2z②式对y求导： 20?2?2?2y2?2()?2z2?0，

?y?y?y?y?y?x?9,?将?y?3, ?z?3???z?0,??2z??x代入，于是A???z2?x?0???y??2z1?，B?(9,3,3)?x?y6(9,3,3)??1，2?2zC?2?y(9,3,3)?1152，故AC?B??0，又A??0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小

3663值点，极小值为z(9,3)?3.

?x??9,??z?0,??2z???x类似地，将?y??3,?代入，于是A?2?z?x?z??3.??0????y?2zB??x?y又A??

1??， (?9,?3,?3)61?2z?，C?2(?9,?3,?3)2?y512??AC?B??0， ，可知(?9,?3,?3)3361?0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(?9,?3)??3. 6梦想不会辜负每一个努力的人

20

all~试题 (20)【详解】

方法1： 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

11?1?a?22?a2A???LLL?nn?n对|B|是否为零进行讨论：

LLLL1?1行?(?i)?i行2??i?2,LnL?(uuuuuuuuuuu)uuuur?n?a??1?a1??2aa??LL???na010L0LLLL1?0???B L??a?当a?0时，r(A)?1?n，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是m?n矩阵，齐次方程组Ax?0有非零解的充要条件是r(A)?n. 故此方程组有非零解，把

a?0代入原方程组，得其同解方程组为

x1?x2???xn?0, (?)

此时，r(A)?1，故方程组有n?r?n?1个自由未知量. 选x2,x3,L,xn为自由未知量，将他们的n?1组值(1,0,L,0),(0,1,L,0),L,(0,0,L,1)分别代入(?)式，得基础解系

?1?(?1,1,0,?,0)T, ?2?(?1,0,1,?,0)T,?,?n?1?(?1,0,0,?,1)T,

于是方程组的通解为

x?k1?1???kn?1?n?1, 其中k1,?,kn?1为任意常数.

当a?0时，对矩阵B作初等行变换，有

?1?a1??21B???LL???n0可知a??10L0LLLLn(n?1)?1?a?00?20??i?(?1)?1行??210?i?2,3Ln)L?(uuuuuuuuuuuuur?LLL??1??n00??LLLL?0??0?， L??1??n(n?1)时，r(A)?n?1?n，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程2n(n?1)组也有非零解，把a??代入原方程组，其同解方程组为

2??2x1?x2?0,??3x?x?0,?13 ????????nx1?xn?0,此时，r(A)?n?1，故方程组有n?r?n?(n?1)?1个自由未知量.选x2为自由未量，取x2?1，由此得基础解系为??(1,2,?,n)，于是方程组的通解为x?k?，

梦想不会辜负每一个努力的人

21

Tall~试题 其中k为任意常数.

方法2：计算方程组的系数行列式：

11?1?a?22?a2A???LLL?nn?nLLLL1??a00L0??111L1??0a0L0??222L2?2??矩阵加法????? ?LLLLL??LLLLL?L??????n?a??000La??nnnLn??1?2?aE+?????n12?n12?n????1?2??????aE?Q， ???n?下面求矩阵Q的特征值：

??1?1?2??2?E?Q?LL?n?n?1L?2LLL?nL??1?21行?(-i)?i行?2?L(i?2,3,L,n)L??n?n??1?1?1L?10L

?L00L0LLL???i列?(i)?1列(i?2,3,L,n)n(n?1)20L0?1?1L?1n(n?1)?0??n?1????? 2??L?L00L0LLL?则Q的特征值0,?,0,n(n?1)mm，由性质：若Ax??x，则(kA)x?(k?)x,Ax??x，2因此对任意多项式f(x)，f(A)x?f(?)x，即f(?)是f(A)的特征值.

故，A的特征值为a,a,L,a?n(n?1), 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 2A行列式A?(a?n(n?1)n?1)a. 2n(n?1)时，方程组有非2由齐次方程组有非零解的判别定理：设A是n阶矩阵，齐次方程组Ax?0有非零解的充要条件是A?0. 可知，当A?0，即a?0或a??零解.

当a?0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

?1?2A???L??n12Ln12LnLLLL1??1?02?1行?（?i)?i行???LL?(i?2,Ln)uuuuuuuuuuuuuuuur??n??010L010L0LLL01?0??，. L??0?故方程组的同解方程组为

梦想不会辜负每一个努力的人

22

all~试题 x1?x2???xn?0,

此时，r(A)?1，故方程组有n?r?n?1个自由未知量.选x2,x3,L,xn为自由未知量，将他们的n?1组值(1,0,L,0),(0,1,L,0),L,(0,0,L,1)分别代入(?)式， 由此得基础解系为

?1?(?1,1,0,?,0)T, ?2?(?1,0,1,?,0)T,?,?n?1?(?1,0,0,?,1)T,

于是方程组的通解为

x?k1?1???kn?1?n?1, 其中k1,?,kn?1为任意常数.

当a??n(n?1)时， 210L0LLLL1?0??i?(?1)?1行i?2,3L)L?(uuuuuuuuuuunuur?1?n(n?1)?a?0?2??21??LL??n0??00L0LLLL?0??0?， L??1???1?a1??21B???LL???n0?00?即 ??21?LL???n000L0LLLL?120???3x?x?0,?130?，其同解方程组为? ?L???????1???nx1?xn?0,?2x?x?0,此时，故方程组有n?r?n?(n?1)?1个自由未知量. 选x2为自由未量，r(A)?n?1，取x2?1，由此得基础解系为??(1,2,?,n)，于是方程组的通解为x?k?，其中k为任意常数.

(21)【详解】A的特征多项式为

T??1?E?A?1?1?233??4?a1??2?(??2)2行?（?1）?1行1??4?1?10?a103

??5??5?10提出1行公因数(??2)1??431行?(?1)?2行(??2)0??33 ?1?a??5?1?a??5?10311行?2行(??2)0??3?(??2)??330?a?1??5?a?1??5

?(??2)[(??3)(??5)?3(a?1)]?(??2)(?2?8??18?3a).

梦想不会辜负每一个努力的人

23

all~试题 已知A有一个二重特征值，有两种情况，(1)??2就是二重特征值，(2)若??2不是二重根，则??8??18?3a是一个完全平方

(1) 若??2是特征方程的二重根，则有2?16?18?3a?0, 解得a??2. 由

22?E?A?(??2)(?2?8??18?3?(?2))?(??2)(?2?8??12)?(??2)2(??6)?0

求得A的特征值为2,2,6, 由

?1?23??1?23??1行(-1)倍加到2行,?000?，

2E?A??1?23??1行的1倍加到3行??uuuuuuuuuuuuuuuuuuuur????12?3???000??知秩?2E?A??1，故??2对应的线性无关的特征向量的个数为n?r?3?1?2，等于

??2的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征

向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A可相似对角化.

(2) 若

??2不是特征方程的二重根，则?2?8??18?3a为完全平方，从而

2218?3a?16，解得 a??. 当a??时，由

332?E?A??(??2)(?2?8??18?3?(?))?(??2)(?2?8??16)?(??2)(??4)2?0

3知A的特征值为2，4，4，由

???3?23???14E?A??103?1行??3行3uuuuuuuuuuuuur??2?1???13???3?23??103? ????000??知秩?4E?A??2，故??4对应的线性无关的特征向量有n?r?3?2?1, 不等于??4的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量

的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A不可相似对角化.

(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强. 通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.

先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.

【详解】(I) 由于P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)11?, ，所以P(B)?P(AB)61224

梦想不会辜负每一个努力的人

all~试题 利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有

P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 12P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?1， 61P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?,

12P{X?0,Y?0}?P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?2 3(或P{X?0,Y?0}?1?1112???)，故(X,Y)的概率分布为 126123 Y

X 0 1

2 31 1

6 0

(II) X,Y的概率分布分别为

1 121 12213??, 3124111P{X?1}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?0}???,

6124111P{Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?1}???,

12126215P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}???.

366P{X?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?0,Y?0}?所以X,Y的概率分布为

X 0 1 Y 0 1 P

3151 P 4466由0?1分布的数学期望和方差公式，则

EX?11133155, ,EY?，DX???，DY???46441666361, 12E(XY)?0?P?XY?0??1?P?XY?1??P?X?1,Y?1??故 Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?1，从而 24?XY?Cov(X,Y)DX?DY?15. 15

(23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的

梦想不会辜负每一个努力的人

25

all~试题 准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可. 似然函数的定义：L(?)?f(x1,x2,L,xn;?)?【详解】X的概率密度为

?f(x;?)

ii?1n?????1,x?1, f(x;?)??xx?1.??0,(I) 矩估计. 由数学期望的定义：

EX??xf(x;?)dx??x???1?????xdx???1???1，

用样本均值估计期望有EX?X，

令

???1?X，解得 ??X，所以参数?的矩估计量为 X?1???1nX. 其中X??Xi

ni?1X?1(II) 最大似然估计. 设 x1,x2,...,xn是相应于样本X1,X2,...,Xn的一组观测值，则似然函数为：

??n,x?1(i?1,2,?,n),? L(?)??f(xi;?)??(x1x2?xn)??1ii?1?0,其他?n当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，L(?)与lnL(?)在相同的?点取得最大值； 所以等式两边取自然对数，得 lnL(?)?nln??(??1)ndlnL(?)n???lnxi， 两边对?求导，得

d??i?1?lnx，

ii?1n令

dlnL(?)?0，可得 ??d?n?lnxi?1nn，

iμ?解得?的最大似然估计值为：?n

i?lnxi?1梦想不会辜负每一个努力的人

26

从而得，?的最大似然估计量为：???n?n.

lnXii?1

梦想不会辜负每一个努力的人

试题 27

all~