2020-2021温州备战中考数学培优(含解析)之圆的综合

2020-2021温州备战中考数学培优(含解析)之圆的综合

一、圆的综合

1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；

??FA?，连接EF，过点F作AD(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=

2DG，PO=5，求EF的长． 3

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】

（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；

（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；

（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出

12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，

32MO1CO1?，tanP=?,设求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝

BM2PO2EH∥DG，求出OM=

OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】

（1）证明：连接OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；

（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，

∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°，

∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，

???∵BFAF，

11o∠BEA=?90=45°，

22∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH，

∴FG=FH+GH=DE+DG；

∴∠HEF=∠FEA=

（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，

∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

∵四边形GHED是矩形， ∴EH∥DG，

∴∠OMH=∠OCP=90°，

∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°， ∴∠HOM=∠OHM， ∴HM=MO， ∵OM⊥BE， ∴BM=ME， ∴OM=

1AE， 22DG，DG=3a， 3设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°， ∴四边形GHMC是矩形， ∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a， ∵DG=HE，GC=HM， ∴ME=CD=2a，BM=2a， 在Rt△BOM中，tan∠MBO=∵EH∥DP， ∴∠P=∠MBO， tanP=

MOa1??， BM2a2CO1?， PO2设OC=k，则PC=2k， 在Rt△POC中，OP=5k=5， 解得：k=5，OE=OC=5，

在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5， a=1， ∴HE=3a=3，

在Rt△HFE中，∠HEF=45°， ∴EF=2HE=32． 【点睛】

考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．

2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上； （2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积． 【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)【解析】（1）解：连接AM、BM，

63. 8

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点 ∴AM＝BM＝PM=QM=

1 PQ， 2∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。 （2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM