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第25题图
【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=又∵AE=CE，∴CE=
1AB，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE 21AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形． 222、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
AMBEOFNC（第24题图）
【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形………………2分
证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO………………6分
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∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF是矩形………………10分
23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.
（1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当
AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. AB
DCFAPBE图9
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° ············· 1分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°
∴∠ADP＝∠EPB. ··················································· 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° ···· 3分
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DCFAPBEG
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP
∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG ························ 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ·············································· 5分 （3）方法一：
当
AP1?时，△PFE∽△BFP. ········································ 6分 AB2∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ····················· 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝a，∴BF＝BP·∴PD?AD2?AP2?∴
12AP1?a ··········· 8分 AD455a a，PF?PB2?BF2?42PBBF5 ···················································· 9分 ??PDPF5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP ··························· 10分 方法二：
假设△ADP∽△BFP，则
PBBF?. ·································· 6分 PDPF∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ···················· 7分 ∴∴
PDAP?， ······················································ 8分 PFBFPBAP?， ······················································ 9分 BFBFAP1?时，△PFE∽△BFP. AB2∴PB＝AP， ∴当10分
24. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠
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EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
A13DE2GBFC（第25题）①
⑵方法迁移：
如图②，将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
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