∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°， 四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD， ∵AC=∴
∵BD=AF， ∴
， BD，CD=
，
AE，
∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD， ∴
=
，∠FEA=∠ADC，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°，
在Rt△EFB中，tan∠FBE=∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，
（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH， ∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，
，
∴BE=DH，EH=BD， ∵AC=∴
BD，CD=
，
AE，
∵∠HEA=∠C=90°，
21
∴△ACD∽△HEA， ∴
，∠ADC=∠HAE，
∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°，
在Rt△DAH中，tan∠ADH=∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．
【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，?=
，
43），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=． 34（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值； ②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值． 【解答过程】解：（1）∵OA=1，OB=4 ∴A（1，0），B（﹣4，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1） ∵点C（0，﹣∴﹣
）在抛物线上
22
解得a=
∴抛物线的解析式为y=
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似． 理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=则tan∠ACO=∵tan∠OAD=
∴∠OAD=∠ACO ∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣
） ）
∵点C（0，﹣∴CD=
由AC2=OC2+OA2，得AC=
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t 由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似 只需
或
则有或
解得t1=，t2=
∵t1＜2.5，t2＜2.5 ∴存在t=
或t=
，使得△ADC与△PQA相似
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大 理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N 在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=在△ADC中，由S△ADC=
23
∴CN=
∴S△AQP+S△AQC==﹣∴当t=
时，△APQ与△CAQ的面积之和最大
【总结归纳】本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．
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