2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率

k??12，直线L的方程

5454E(,)或F(-,)33。表明直为x??(2y?1)。代入方程②得y(3y?4)?0，解得33线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当

k??12时，L恰好与点P的轨迹有3个公共

点。 ......15分 情况2：直线L不经过点B和C（即

k??12），因为L与S有两个不同

的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组

?8x2?17y2?12y?8?0??1y?kx???2有且只有一组实数解，消去y并化简得

(8?17k2)x2?5kx?25?04

28?17k?0 ④ 该方程有唯一实数解的充要条件是

或

(?5k)2?4(8?17k2)25?04 ⑤

解方程④得

k??2342k??17，解方程⑤得2。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集

12342{0,?,?,?}2172。 ......20分

15、解：（Ⅰ）设

2??x1?x2??,则4x12?4tx1?1?0,4x2?4tx2?1?0,

2?4(x12?x2)?4t(x1?x2)?2?0,?2x1x2?t(x1?x2)?1?02

则

f(x2)?f(x1)?2x2?t2x1?t(x2?x1)?t(x1?x2)?2x1x2?2??2?22x2?1x1?1(x2?1)(x12?1)

1?0?f(x2)?f(x1)?02

又

t(x1?x2)?2x1x2?2?t(x1?x2)?2x1x2??,??故f(x)在区间?上是增函

数。

.......5分

1????t,????,4

?g(t)?maxf(x)?minf(x)?f(?)?f(?)?(???)?t(???)?2???2??2?2??2??2?15??t2?1?t2??222?8t?1(2t?5)???22516t?252t?16 ......10分

（Ⅱ）证：

8216(2?3)?24cosuicosuicosuicosuig(tanui)??21616?9cosui?9cos2ui?216?24166?(i?1,2,3)16?9cos2ui16?9cos2ui

3311312???(16?9cosui)?(16?3?9?3?9)?sin2ui)?166i?1166i?1g(tanui)i?13....15分

?sinui?1i?1,且ui?(0,),i?1,2,32??3?sinui?(?sinui)2?12i?1i?133，而均值不等

式与柯西不等式中，等号不能同时成立，

?111113???(75?9?)?6g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)16634

......20分