高等数学B教案第八章

高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

2x2?y2bx 把zOx面上的抛物线2?z绕z轴旋转? 所得曲面叫做旋转抛物面?z? 再沿y轴方向伸缩2aaa2y2x倍? 所得曲面叫做椭圆抛物面2?2?z ab (6)双曲抛物面?

2y2 由方程x2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面?

ab 双曲抛物面又称马鞍面?

用平面x?t截此曲面? 所得截痕l为平面x?t上的抛物线 2y2t ?2?z?2?

ba此抛物线开口朝下? 其项点坐标为(t, 0, t2)? 当t变化时? l的形状不变? 位置只作平移? 而l的项点的轨

a迹L为平面y?0上的抛物线

2x z?2? a2因此? 以l为母线? L为准线? 母线l的项点在准线L上滑动? 且母线作平行移动? 这样得到的曲面便是双曲抛物面?

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面?

22y2y2xx 2?2?1? 2?2?1? x2?ay? abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面?

17

高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

§8? 4 空间曲线及其方程

一、教学目的与要求：

1.了解空间曲线的参数方程和一般方程。

2.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 二、重点（难点）：空间曲线在坐标面上的投影 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设

F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0

是两个曲面方程? 它们的交线为C? 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程? 所以应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? ? 反过来? 如果点M不在曲线C上? 那么它不可能同时在两个曲面上? 所以它的坐标不满足方程组? ? 因此? 曲线C可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程?

?x2?y2?1 例1?方程组?表示怎样的曲线??

?2x?3z?6 解?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 其准线是xOy 面上的圆? 圆心在原点O? 半

行为1? 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面? 由于它的准线是zOx 面上的直线? 因此它是一个平面? 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线? ?z?a2?x2?y2? 例2 方程组?a)2?y2?(a)2表示怎样的曲线?? (x??22? 解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O? 半行为a的上半球面? 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点(a, 0)? 半行为a? 方程组就表示上述半

22球面与圆柱面的交线?

二、参数方程

空间曲线C的方程除了一般方程之外? 也可以用参数形式表示? 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数?????x?x(t)? ?y?y(t)?

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程组(2)叫做空

间曲线的参数方程?

例3?如果空间一点M 在圆柱面x2?y2?a2 上以角速度?绕z轴旋转? 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中?、v都是常数)? 那么点M构成的图形叫做螺旋线? 试建立其参数方程?

解?取时间t为参数? 设当t?0时? 动点位于x轴上的一点A(a, 0? 0)处? 经过时间t? 动点由A运动到M(x? y? z)(图7-44)? 记M在xOy 面上的投影为M?? M?的坐标为x? y,0? 由于动点在圆柱面上以角速度??18

高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

绕 z 轴旋转? 所以经过时间t,∠AOM???? t? 从而

x?|OM?|cos∠AOM??acos?? t?? y?|OM?|sin∠AOM??asin?? t, 由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升? 所以 z?MM??vt . 因此螺旋线的参数方程为

?x?acos?t? ?y?asin?t?

??z?vt 也可以用其他变量作参数? 例如令??? t? 则螺旋线的参数方程可写为 ?x?acos?? ?y?asin??

??z?b?其中b?v? 而参数为???

?三、空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?

?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??

?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面?

这是因为???一方面方程H(x? y)?0表示一个母线平行于z轴的柱面? 另一方面方程H(x? y)?0是由方程组消去变量z后所得的方程? 因此当x、y、z满足方程组时? 前两个数x、y必定满足方程H(x? y)?0 ? 这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x? y)?0所表示的曲面上? 即曲线C在方程H(x? y)?0表示的柱面上? 所以方程H(x? y)?0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???

?H(x,y)?0? ?z?0? 讨论???曲线C关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么??

例4?已知两球面的方程为

x2?y2?z2?1? (5)

和

x2?(y?1)2?(z?1)2?1? (6)

求它们的交线C在xOy面上的投影方程? 解?先将方程x2?(y?1)2?(z?1)2?1化为 x2?y2?z2?2y?2z?1? 然后与方程x2?y2?z2?1相减得

19

高等数学B教案—李惠 第八章 空间解析几乎与向量代数

y?z?1?

将 z?1?y代入x2?y2?z2?1 得

x2?2y2?2y?0?

这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程? 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 ?x2?2y2?2y?0 ??

?z?0 例5?求由上半球面z?4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成立体在xOy面上的投影?

解?由方程z?4?x2?y2和z?3(x2?y2)消去z 得到x2?y2?1? 这是一个母线平行于z轴的圆柱面? 容易看出? 这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面? 因此交线C在xOy面上的投影曲线为

?x2?y2?1 ??

z?0?这是xOy面上的一个圆? 于是所求立体在xOy面上的投影? 就是该圆在xOy面上所围的部分:

x2?y2?1? ? ?

20