?π?(1)求f??的值； ?4?
π
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区
12间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2π
T＝2.
πππππ对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，33222
又f(x)的图象关于直线x＝所以k＝0，
π?π2ππ?所以φ＝－＝－，所以f(x)＝3sin?2x－?，
6?236?π3?π??ππ?则f??＝3sin?2×－?＝3sin ＝. 46?32?4??π
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
12
f?x－?的图象，
12
??
π??
??π?π??π?所以g(x)＝f?x－?＝3sin?2?x－?－?
?12???12?6?
π??＝3sin?2x－?. 3??
ππ3π
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232
5π11π
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
12125π11π??因此g(x)的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋(k∈Z).
1212???
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
π??11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin?2x＋?，则下列结论正确的是( )
6??π
A.f(x)的图象关于直线x＝对称
3B.f(x)的图象关于点?
?π，0?对称
??6?
?π?C.f(x)的最小正周期为π，且在?0，?上为增函数
?12?
- 5 -
π
D.把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象
12π?π?解析 对于函数f(x)＝sin?2x＋?，当x＝时， 6?3?
f??＝sin
3
?π????π???
5π1π
＝，故A错；当x＝时， 626π2
f??＝sin ＝1，故?，0?不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝66
?π
?
??
2π
＝π，2
?π?当x∈?0，?时， ?12?
π?ππ?
2x＋∈?，?，此时函数为增函数，故C正确；
6?63?
π??π?π?把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin?2?x－?＋?＝sin 2x，函数是奇函数，12??12?6?故D错. 答案 C
?ππ?12.(2016·承德一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间?－，?上的最小值为－2，则ω的
?34?
取值范围是( ) 9??A.?－∞，－?∪[6，＋∞) 2??
9??3??B.?－∞，－?∪?，＋∞? 2??2??C.(－∞，－2]∪[6，＋∞)
?3?D.(－∞，－2]∪?，＋∞?
?2?
ππππ3π
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω343224π
≤ωx≤－ω，
3
ππ
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
42
?3?综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪?，＋∞?.
?2?
答案 D
13.(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
- 6 -
??y＝2sin ωx，
解析 由?得sin ωx＝cos ωx，
?y＝2cos ωx?
∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋∵ω>0，∴x＝
π
(k∈Z). 4
kπ
π
＋ (k∈Z). ω4ω
π5π，x2＝，则|x2－x1|＝4ω4ω
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝
?5π－π?＝π.
?4ω4ω?ω??
又结合图形知|y2－y1|＝?2×?－
?
???2?2?
?－2×2?＝22， 2??
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为23， ∴(x2－x1)＋(y2－y1)＝(23)， π?π?2
∴??＋(22)＝12，∴ω＝.
2?ω?答案
π
22
2
2
2
π??14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|
ωx＋φ 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 x Asin(ωx＋φ) 0 (1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式； π
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象.若关于x的方程g(x)－(2m6π??0，＋1)＝0在区间?上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 2???解 (1)根据表中已知数据， 解得A＝5，ω＝2，φ＝－数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π 3π 22π π. 6
- 7 -
x Asin(ωx＋φ) π 120 π 35 7π 120 5π 6－5 13π 120 π??且函数表达式为f(x)＝5sin?2x－?. 6??π??(2)通过平移，g(x)＝5sin?2x＋?， 6??
?π?方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图象在?0，?上有两个交点，
2???π?2x＋π∈?π，7π?，?π?当x∈?0，?时，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图象在?0，?上??2?6?2?6?6??
π
有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，]上的图象，
253
只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.
24
?3?即实数m的取值范围为?，2?.
?4?
π??15.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?x∈R，ω>0，0<ω
(1)求函数f(x)的解析式；
?π??π?(2)求函数g(x)＝f?x－?－f?x＋?的单调递增区间.
?12??12?
解 (1)由题设图象知，周期T＝2?2π
∴ω＝＝2.
?11π－5π?＝π，
?12??12
T因为点?
?5π，0?在函数图象上，所以Asin?2×5π＋φ?＝0，即sin?5π＋φ?＝0.
????6?12?12?????
π
又∵0<φ<，
2∴
5π5π4π5ππ<＋φ<，从而＋φ＝π，即φ＝. 66366
π
又点(0，1)在函数图象上，所以Asin＝1，解得A＝2，
6π??2x＋故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin?. 6???
??π?π???π?π?(2)g(x)＝2sin?2?x－?＋?－2sin?2?x＋?＋?
??12?6???12?6?
- 8 -
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