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www.jyeoo.com 2．（2010?天津）已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率e=
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）． （i）若
，求直线l的倾斜角；
．求y0的值．
（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 计算题；压轴题． 222（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c=a﹣b求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得． （2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得． （ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据解答： 解：（Ⅰ）由e=222求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的求得y0；综合答案可得． ，得3a=4c． 22再由c=a﹣b，解得a=2b． 由题意可知解方程组，即ab=2． 得a=2，b=1． ． 所以椭圆的方程为（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）． 设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k． 则直线l的方程为y=k（x+2）． 于是A、B两点的坐标满足方程组2222 消去y并整理，得（1+4k）x+16kx+（16k﹣4）=0． 由，得．从而． 所以． ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 由4，得22． 2整理得32k﹣9k﹣23=0，即（k﹣1）（32k+23）=0，解得k=±1． 所以直线l的倾斜角为或． （ii）设线段AB的中点为M， 由（i）得到M的坐标为以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标是（2，0）， 线段AB的垂直平分线为y轴， 于是由，得． ． ． （2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为 ． 令x=0，解得由，． ， = =2， 整理得7k=2．故所以综上，点评： ． 或． ． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力． 3．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT． （Ⅰ）求证：DT?DM=DO?DC； （Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．
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考点： 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）由切割线定理可得DT?DM=DB?DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证； （2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC． 解答： 证明：（1）因MD与圆O相交于点T， 由切割线定理DN2=DT?DM，DN2=DB?DA， 得DT?DM=DB?DA，设半径OB=r（r＞0）， 因BD=OB，且BC=OC=， 则DB?DA=r?3r=3r2，，
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www.jyeoo.com 所以DT?DM=DO?DC． （2）由（1）可知，DT?DM=DO?DC， 且∠TDO=∠CDM， 故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC； 根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠BMC=30°． 本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题． 点评： 4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率e=
，连接椭圆C的四个顶点得到
的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；
22
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x+y=1相交于不同的两点A，B，且△ABO的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△ABO的面积；若不存在，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 分析： （1）利用椭圆的标准方程及其性质、对角线相互垂直的四边形的面积计算公式即可得出； （2）由题意可知：当且仅当∠AOB=90°时，△AOB的面积取得最大值，得出m，n满足的关 ?2010-2014 菁优网
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