2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ ） A．(1，5) B．(1，3) C．(1，5) D．(1，3) 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?A．16 B．24 1，S4?20，则S6?（ ） 2 D．48 C．36 一年级 二年级 三年级 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校y x 373 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样女生 377 370 z 的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 男生 A．24 B．18 C．16 D．12 表1 ?2x?y≤40，??x?2y≤50，4．若变量x，y满足?则z?3x?2y的最大值是（ ） ?x≥0，?y≥0，?A．90 B．80 C．70 D．40 5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） A A H G B B B B B C 侧视 B C I E F 图1 D E F 图2 D E A． E B． E C． E D． 6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．(?p)?q B．p?q ax C．(?p)?(?q) D．(?p)?(?q) 7．设a?R，若函数y?e?3x，x?R有大于零的极值点，则（ ） 11 D．a?? 338．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点uuuruuuruuurF．若AC?a，BD?b，则AF?（ ） 11211112A．a?b B．a?b C．a?b D．a?b 42332433A．a??3 B．a??3 C．a?? 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入m?4，n?6，则输出 a? ，i? ． （注：框图中的赋值符号“?”也可以写成“?”或“:?”） 开始 26810．已知(1?kx)（k是正整数）的展开式中，x的系数小于 输入m，n 120，则k? ． i?1 2211．经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直 a?m?i 的直线方程是 ． i?i?1 否 n整除a? 12．已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的 是 最小正周期是 ． 输出a，i 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 结束 13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程图分3 别为?cos??3，??4cos???≥0，0≤???，则曲线C1与C2交点的极坐标为 ． 2? 14．（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x?x?a?2??π?1?a?0有实根，则a的取值范围4是 ． 15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R? ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点M?，?．已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，（1）求f(x)的解析式；（2）已知?，???0，?，且f(?)??π1??32???π?2?312，f(?)?，求f(???)的值． 513 17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为?． （1）求?的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即?的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ x2y2218．（本小题满分14分）设b?0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x?8(y?b)．如图4所示，2bb过点F(0，b?2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． y F G F1 x A O B 图4 ?1，x?1?19．（本小题满分14分） 设k?R，函数f(x)??1?x，F(x)?f(x)?kx，x?R，试讨??x?1，x≥1?论函数F(x)的单调性． 20．（本小题满分14分） 如图5所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?ABD?60o，?BDC?45o，PD垂直底面ABCD，PD?22R，E，F分别是PB，CD上的点，PEDF且，过点E作BC的平行线交PC于G． ?P EBFC（1）求BD与平面ABP所成角?的正弦值； E （2）证明：△EFG是直角三角形； G PE1（3）当?时，求△EFG的面积． EB2A D 21．（本小题满分12分） B F C 图5 22设p，q为实数，?，?是方程x?px?q?0的两个实根，数列{xn}满足x1?p，x2?p?q，xn?pxn?1?qxn?2（n?3，…）． 4，（1）证明：????p，???q； （2）求数列{xn}的通项公式； 1（3）若p?1，q?，求{xn}的前n项和Sn． 4 2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 一、选择题：C D C C A D B B 1．C【解析】z?a2?1，而0?a?2，即1?a2?1?5，?1?z?5 2．D【解析】S4?2?6d?20，?d?3，故S6?3?15d?48 3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000?373?377?380?370?500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64?2?16 84．C 5．A 6．D【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(?p)?(?q) 为真命题 7．B【解析】f'(x)?3?ae，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?ae当有f'(x)?3?aeaxaxax?0有正根。?0成立时，显然有a?0，此时x?13ln(?)，由x?0我们马上就能得到参数aaa的范围为a??3。 8．B 二、填空题： 9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i?3。 r2rrr2r26810．【解析】(1?kx)按二项式定理展开的通项为Tr?1?C6(kx)?C6kx，我们知道x的系数为C64k4?15k4，即15k4?120，也即k4?8，而k是正整数，故k只能取1。 11．【解析】易知点C为(?1,0)，而直线与x?y?0垂直，我们设待求的直线的方程为y?x?b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b?1，故待求的直线的方程为x?y?1?0。 12．【解析】f(x)?sin2x?sinxcosx?1?cos2x12?1?sin2x??cos(2x?)?，故函数的最小正周期22242T?2???。 2 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） ???23???cos??3??13．【解析】由?解得，即两曲线的交点为(23,)。 (??0,0???)??62???4cos????6?14．?0,? 415．【解析】依题意，我们知道?PBA:?PAC,由相似三角形的性质我们有?1???PAPB,即?2RABPA?AB2?22?12R???3。 2PB2?1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（1）依题意有A?1，则f(x)?sin(x??)，将点M(?1?1,)代入得sin(??)?，而0????，3232??5??????，???，故f(x)?sin(x?)?cosx； 3622312?,cos??，而?,??(0,)， 513234125?sin??1?()2?,sin??1?()2?， 5513133124556。 f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????51351365（2）依题意有cos?? 17．解：（1）?的所有可能取值有6，2，1，-2；P(??6)?12650?0.63，P(??2)??0.25 200200P(??1)?204?0.1，P(???2)??0.02 200200故?的分布列为： -2 0.02 （2）E??6?0.63?2?0.25?1?0.1?(?2)?0.02?4.34 （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 ? P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 E(x)?6?0.7?2?(1?0.7?0.01?x)?(?2)?0.01?4.76?x(0?x?0.29) 依题意，E(x)?4.73，即4.76?x?4.73，解得x?0.03 所以三等品率最多为3% y 12x?b， 8当y?b?2得x??4，?G点的坐标为(4,b?2)， 1y'?x， y'|x?4?1， 4过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2， 令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b,0)， 由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，?2?b?b即b?1， 18．解：（1）由x?8(y?b)得y?2F G A F1 O B 图4 x x2?y2?1和x2?8(y?1)； 即椭圆和抛物线的方程分别为2（2）Q过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, ?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个，同理?以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。 12若以?APB为直角，设P点坐标为(x,x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和(2,0)， 8uuuruuur11452PAgPB?x2?2?(x2?1)2?x?x?1?0。 86442关于x的二次方程有一大于零的解，?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得?ABP为直角三角形。 19．解：?1?1?kx,x?1,?k,?2? F(x)?f(x)?kx??1?x，?(1?x)??x?1?kx,x?1,F'(x)?????1?k,??2x?11对于F(x)??kx(x?1)， 1?x当k?0时，函数F(x)在(??,1)上是增函数； x?1,x?1,
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