第二章 推理与证明章末复习课
题型一 合情推理与演绎推理
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 ①a＋b＝c； ②cosA＋cosB＝1； ③Rt△ABC的外接圆半径为r＝
2
2
2
2
2
a2＋b2
2
.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？ (1)答案 f(n)＝n
解析 由于1＝13＋5＝8＝2，
3,
3
3
1
7＋9＋11＝27＝313＋15＋17＋19＝64＝4，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数
3,3
n的关系式为f(n)＝n3.
(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S1＋S2＋S3＝S. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cosα＋cosβ＋cosγ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝
2
2
2
2
2
2
2
a2＋b2＋c22
.
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性. 跟踪训练1 下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________. ①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆； ②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式； ③由圆x＋y＝1的面积S＝πr，猜想出椭圆的面积S＝πab； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 答案 ② ③④ 题型二 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程. 例2 用综合法和分析法证明. 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤证明 (分析法)
sin α要证明2sin 2α≤成立.
1－cos αsin α只要证明4sin αcos α≤.
1－cos α∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤上式可变形为
1
.
1－cos αsin α.
1－cos α2
2
2
2
1
4≤＋4(1－cos α). 1－cos α∵1－cos α>0， ∴
1
＋4(1－cos α)≥2
1－cos α1
·4
1－cos α1－cos α＝4，
1π
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号.
231
∴4≤＋4(1－cos α)成立.
1－cos αsin α∴不等式2sin 2α≤成立.
1－cos α(综合法) ∵
1
＋4(1－cos α)≥4，
1－cos α1π
(1－cos α>0，当且仅当cos α＝，即α＝时取等号)
231
∴4cos α≤.
1－cos α∵α∈(0，π)，∴sin α>0. sin α∴4sin αcos α≤.
1－cos αsin α∴2sin 2α≤.
1－cos αsin
跟踪训练2 求证：
2α＋βsin β－2cos(α＋β)＝.
sin αsin α证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 两边同除以sin α得
sin2α＋βsin β－2cos(α＋β)＝.
sin αsin α题型三 反证法
反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论.
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是
3
“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的.
1＋x1＋y例3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立.
yx1＋x1＋y证明 假设<2和<2都不成立，
yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立.
yx因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x， 两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y， 所以x＋y≤2. 这与已知x＋y>2矛盾. 故
1＋x1＋y<2与<2至少有一个成立.
yx反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法. 跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x＋ax＋b＝0与方程x＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a－4b<0与Δ2＝c－4d<0，有a＋c<4(b＋d)，而a＋c≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立. [呈重点、现规律]
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
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