复合函数求导练习题及解答

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复合函数求导练习题及解答

1. 简单函数的定义求导的方法 求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f

取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率

2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则： 公式 ①C?0， ③’??sinx ‘

②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’

⑧? xlnax11’’

cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：

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32 y?xx?4y? ?? sinx x

y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2

复合函数的导数

如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作 熟记链式法则 若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f???

若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f???

复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成

的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四

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则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4

，u?1?3x，则 设y?u ?4

y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5

??12u?5?12?5? 12 ．

例2求y?x 的导数． 1?x 15

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解：y?? ?x? ?， ?1?x? ?45 1?x?y’???

5?1?x??x?1?x???????1?x51?x???? 4 ‘? 4 5 ? 1?x?x 2

1?x????5?1?x? ? 45 ?11?5 ??x5． 5 6

例求下列函数的导数

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y??2x 解：y ?3?2x

令u=-2x，则有y= u，u=-2x ??u??yux

由复合函数求导法则y?x 有y′= ?? u?x=1??? 2?2x

在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果： yˊ= 123?2x ???? 1?2x

在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程： yˊ= 12?2x ??? 1?2x

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