第2讲 统计与概率
专题复习检测
A卷
1．(2018年新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 C．0.6 【答案】B
2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x，y的值分别为( )
B．0.4 D．0.7
A．4,5 C．4,4 【答案】A
3．(2019年新课标Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 C．0.7 【答案】C
【解析】根据题意作出Venn图如图所示．由Venn图可知该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，所以该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为70
＝0.7. 100
B．0.6 D．0.8 B．5,4 D．5,5
4．(2018年广东广州模拟)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小
组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是( )
A．35 C．60 【答案】C
5．(2019年辽宁模拟)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布
B．48 D．75
N(10,0.12)，现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的
数学期望约为( )
注：若Z～N(μ，σ)，则P(μ－σ A．171 C．341 【答案】B 【解析】设每袋面粉的质量为Z kg，则Z～N(10，0.1)，所以P(10 1 2 12 2 2 B．239 D．477 12 P(99.8 500×0.477 2≈239.故选B． 6．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________人． 【答案】360 2401k1【解析】因为高一年级抽取学生的比例为＝，所以＝，解得k＝2，故高 1 2005k＋5＋35三年级抽取的人数为1 200× 3 ＝360. 2＋5＋3 7．(2019年江苏)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________． 【答案】2 1－1222 【解析】该组数据的平均数x＝(6＋7＋8＋8＋9＋10)＝8，方差S＝[(6－8)＋(7－8) 55＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＋(10－8)]＝2. 2 2 2 2 8．(2019年江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________． 7 【答案】 10 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝C5＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝C3C2＋C2＝7，所以所 2 11 2 m7 求概率p＝＝. n10 9．(2018年四川内江三模)有一个同学家开了一个奶茶店，该同学为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如下表： 气温x(℃) 热奶茶销售杯数y 0 150 4 132 12 130 19 104 27 94 ^^^^(1)求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程y＝bx＋a(b精确到0.1)，若某天的气温为15 ℃，预测这天热奶茶的销售杯数； (2)从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率． 参考数据：4＋12＋19＋27＝1 250,4×132＋12×130＋19×104＋27×94＝6 602. n2 2 2 2 ?xiyi－nx y^i＝1参考公式：b＝ ni－nx?x2i＝1 2 ^^ ，a＝y－bx. －1－1 【解析】(1)由表格中数据，得x＝(0＋4＋12＋19＋27)＝12.4，y＝(150＋132＋130 55＋104＋94)＝122. n?xiyi－nx y^ ∴b＝ i＝1 n2 i－nx?x2 －－ ＝－ 6 602－5×12.4×122 ≈－2.0， 2 1 250－5×12.4 i＝1 ^ a＝y－bx＝122－(－2.0)×12.4＝146.8. ^ ∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为y＝－2.0x＋146.8. 当气温为15℃时，可以预测热奶茶的销售杯数为－2.0×15＋146.8≈117(杯)． － (2)设A表示事件“两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130”，则P(A)＝1－P(A)＝ －^－ C371－2＝. C510 10．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分(即获得－150分)．设每次击鼓出1 现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立． 2 (1)玩一盘游戏，求至少出现一次音乐的概率； (2)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (3)许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理． 1 【解析】(1)每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现 2 2 ?1?37 音乐相互独立，∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是p＝1－?1－?＝. ?2?8 (2)设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为－150，10,20,50， 03 P(X＝－150)＝C03???1－?＝， 22 ?1?? ??? 1?? 18 2 P(X＝10)＝C13???1－?＝， 22 ?1?? ??? 1? ? 3838 2 P(X＝20)＝C23???1－?＝， 22 ?1?? ????1??? 1? ? 3 P(X＝50)＝C33??＝. 2 18 ∴X的分布列为 X P －150 1 810 3 820 3 850 1 813315(3)由(2)得E(X)＝－150×＋10×＋20×＋50×＝－， 888845 ∴每盘游戏得分的平均数是－，得负分． 4∴玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了． B卷 11．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ a(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则 n?n＋1? ?15?P? 2? 2 A． 34 C． 5【答案】D 【解析】∵P(X＝n)＝ 3 B． 45D． 6 aaaaa5 (n＝1,2,3,4)，∴＋＋＋＝1，解得a＝， n?n＋1?2612204 51515?15?∴P? 42466?22?12．(2019年浙江)设0＜a＜1，随机变量X的分布列是 X P 则当a在(0,1)内增大时，( ) A．D(X)增大 C．D(X)先增大后减小 【答案】D 0 1 3a 1 31 1 3B．D(X)减小 D．D(X)先减小后增大 111a＋1?a＋1?2×1＋?a－a＋1?2×1＋ 【解析】E(X)＝0×＋a×＋1×＝，故D(X)＝???3?3333?3?3??3 ?1－a＋1?2×1＝2?a－1?2＋1.因为0＜a＜1，所以D(X)先减小后增大． ???3???39?2?6 13．(2018年山西临汾模拟)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为( ) A．9 C．11 【答案】B 【解析】不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1 14．(2019年新课标Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于 2 2 2 2 2 B．10 D．12 两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为 i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…， 7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【解析】(1)X的所有可能取值为－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)， 所以X的分布列为 X P －1 (1－α)β 0 1 αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) (2)①证明：因为α＝0.5，β＝0.8， 所以由(1)得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)． 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝ 4(pi－pi－1)． 又p1－p0＝p1≠0， 所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列，公比为4，首项为p1. ②由①可得， p1?1－48?48－1 p8＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝＝p1. 1－4 3 4－13因为p8＝1，所以p1＝1，解得p1＝8. 34－1 34－11 所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝＝8×＝4＝1－44－134＋11 . 257 8 p1?1－44? 4 p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治 1 愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常 257小，说明这种试验方案合理．
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