《概率论与数理统计》期末考试测试试题及解答

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：

2

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发

生的概率为__________. 答案：0.3

解：

P(AB?AB)?0.3

即

0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)

所以

P(AB)?0.1

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.

2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.

答案：

1?1e6

解答：

P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e 即 2????1?0 解得

2????e,??P(X?2)??22e??

????e???2?2e??

1?1e 6??1，故

P(X?3)?

23． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率

密度为fY(y)?_________. 答案：

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.? 解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则

FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(?y?X?y)?FX(y)?FX(?y)

因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故

2 3

?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y

2y?0,其它.?2 另解 在(0,2)上函数y?x严格单调，反函数为h(y)?y 所以

?1,0?y?4,1?fY(y)?fX(y)???4y

2y??0,其它.

?24． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则

??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.

-4答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e

解答：

P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故 ??2

P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}

?1?P(X?1)P(Y?1) ?1?e.

5． 设总体X的概率密度为

???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1.

?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.

?4答案：

$??11nlnxi?ni?1?1

解答： 似然函数为

L(x1,L,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,L,xn)?

i?1n lnL?nln(??1)???lnxi?1ni

ndlnLn???lnxi@0

d???1i?1 解似然方程得?的极大似然估计为

4