2018年高中数学必修一学案 人教版A版 第一单元 1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含答案

§1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小值)

第1课时 函数的单调性

学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．

预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数

设函数f?x?的定义域为I，

D?I，对任意x1，x2∈D

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)

1

(1)已知f(x)＝，因为f(－1)

x

(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x1，x2”可以改为“存在两个自变量的值x1，x2”．( )

(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．

(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．

??x，x∈?1，2]，

(3)× 反例：f(x)＝?

?x－4，x∈?2，3?.?

知识点2 函数的单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【预习评价】

(1)函数f(x)＝x2＋2x－3的单调减区间是________． (2)函数y＝|x|在区间[－2，－1]上( ) A．递减

B．递增

C．先减后增

D．先增后减

解析 (1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．

(2)函数y＝|x|的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]?(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上递减．

答案 (1)(－∞，－1) (2)A

题型一 求函数的单调区间

【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．

(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．

(1)解析 观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．

答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3]

2

??－x＋2x＋1，x≥0，

(2)解 y＝?2

?－x－2x＋1，x<0，?2??－?x－1?＋2，x≥0，即y＝? 2

?－?x＋1?＋2，x<0.?

函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；

(2)把函数图象向x轴作正投影；

(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 1

【训练1】 函数y＝的单调减区间是________．

x－1

11

解析 y＝的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递xx－1减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．

答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性

4

【例2】 证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数．

x证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1

4?x2－x1?x1x2－444

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

x1x2x1x2x1x2因为24，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)

4

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤

1

【训练2】 证明函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数．

x证明 设x1，x2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x1

22

11x2－x1?x2－x1??x2＋x1?

则f(x1)－f(x2)＝2－2＝22＝. 2x1x2x1x2x21x22

因为x10，x1＋x2<0，x21x2>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数．

x题型三 用单调性解不等式

【例3】 已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

－1<1－a<1，??

解 由题知?－1<2a－1<1，

??1－a>2a－1，

22

0，?. 解得0

规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法

当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．

1?

【训练3】 已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)

－1≤x≤1，??1解析 由题意得?1解得－1≤x<. 2

??x<2，1

－1，? 答案 ?2??

互动探究 题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围

【探究1】 若函数y＝ax＋5是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，0)

【探究2】 已知函数y＝x2＋2ax＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析 函数y＝x2＋2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝－a，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a≥1，即a≤－1.

答案 (－∞，－1]

???－2x＋5，x≤1，?－2x＋5，x≤1，

【探究3】 分别作出函数f(x)＝?和g(x)＝?的图象，

?－2x＋3，x>1?－2x＋7，x>1??

并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．

解 函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减