§8.6 椭 圆
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程 x2y2＋＝1 a2b2y2x2＋＝1 a2b2(a>b>0) (a>b>0) 图形 范围 对称性 顶点 性 质 坐标 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 3.椭圆的第二定义 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b F1F2＝2c ce＝∈(0,1) aa2＝b2＋c2 平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝F1F2或2a 提示 当2a＝F1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a 提示 由e＝＝a椭圆越圆． b?21－??a?知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大， 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ ) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) x2y2y2x2 (4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ ) abab题组二 教材改编 x2y22．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( ) 10－mm－2A．4 C．4或8 答案 C 解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4. 当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8. ∴m＝4或8. x2y2 3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) 94x2y2 A.＋＝1 1510x2y2 C.＋＝1 1015答案 A 解析 由题意知＝－2(舍去)， x2y2 ∴所求椭圆的方程为＋＝1. 1510 x2y2 4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的 54面积等于1，则点P的坐标为__________________． 15??15?答案 ?，1或，－1 ?2??2? 解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1， 所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)． 由题意可得点P到x轴的距离为1， x2y2 所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1， 54得x＝±1515，又x>0，所以x＝， 22 15??15?，1或，－1. ?2??2?c2＝5，可设椭圆方程为 x2y294 ＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λλ＋5λλ＋5λx2y2 B.＋＝1 2520x2y2 D.＋＝1 2015B．8 D．12 所以P点坐标为? 题组三 易错自纠 x2y2 5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( ) 5－mm＋3A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) 答案 C 5－m>0，?? 解析 由方程表示椭圆知?m＋3>0， ??5－m≠m＋3，解得－3 x2y210 6．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________． 5m525 答案 3或 3 解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝5－m， 5－mc1010 由＝，即＝，解得m＝3. a555若a2＝m，b2＝5，则c＝m－5. m－5c101025由＝，即＝，解得m＝. a553m 7．设点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则5x2＋y2－6x的最大值为________，最小值为________． 答案 11 －1 解析 由椭圆的几何性质知－1≤x≤1，由y2＝－4x2＋4，得5x2＋y2－6x＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，所以当x＝－1时，5x2＋y2－6x取得最大值11；当x＝1时5x2＋y2－6x取得最小值－1. B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
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