备战高考数学(精讲+精练+精析)专题5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理试题理(含解析)

备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理试题理

（含解析） 个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．

【2017年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出 ,高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2017高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.

从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷考查向量的线性运算几乎没涉及，故预测2017年高考可能以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示，向量的平行为主要考点，出一道小题.

【2017年高考考点定位】

高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题. 【考点1】向量的概念 【备考知识梳理】

1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.

2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0?a=0，0+a=a. 3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.

5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(- a)= a. 【规律方法技巧】

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a. |a|备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理试题理

（含解析） 1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向.

2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小. 【考点针对训练】

1.设向量a?(x,1)，b?(4,x), 若a,b方向相反, 则实数x的值是（ ） A．0 B．?2 C．2 D．?2 【答案】D

rrrr【解析】由题意得：x?1?4?0，解得：x??2，当x?2时，a??2,1?，b??4,2?，此时a，b方向

2rrrr相同，不符合题意，舍去；当x??2时，a???2,1?，b??4,?2?，此时a，b方向相反，符合题意．所

以实数x的值是?2，故选D． 2.已知向量a=?3,4?，若A．

?a?5，则实数?的值为（ ）

11 B．1 C．? D．?1 55【答案】D

【解析】因为a=?3,4?，所以a?3?4?5，因为

22?a???a?5，所以5??5，解得：???1，

故选D．

【考点2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1.向量加法:

①平行四边形法则：平移a，b使其由公共的起点，以a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是a与b的和向量. ②三角形法则：要注意“首尾相连” ③两个向量的和向量仍为向量

④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合. 2．向量减法应注意：

①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；

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（含解析） ②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”. 3.向量数乘运算

①实数?与a的积仍是向量，|?a|=|?||a|，当?＞0时，?a与a方向相同，当?＜0时，?a与a方向相反，当?=0时，?a=0.

②向量数乘的特殊情况：?a=0充要条件是a=0或?=0. ③实数与向量可以求积，但可以求和、差.

④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律.

4.平面向量基本定理

①平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对

x,y，使c=xa+yb.

②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础. 5.平面向量的基本运算

①若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2），?a=（?x1，?y1），

uuur②若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2-x1，y2-y1）.

【规律方法技巧】

1．在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.

uuuur1uuuruuur2．当M是线段AB的中点时，则OM=(OA?OB)是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.

23．当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【考点针对训练】

uuuruuuruuuruuurOB?0，1. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】如图所示，已知OA?1,OB?3,OAg点C在线段ABuuuruuuruuur上，且?AOC?30?，设OC?mOA?nOB?m,n?R?，则m?n等于（ ）

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（含解析）

A．

1111 B． C．? D．? 3223【答案】B

uuuruuuruuuruuur1uuur13【解析】依题意可知OC?AB,且AC?,BC?,故OC?OA?AC?OA?AB

223uuur1uuuruuurr1uuur3uuu1?OA?OB?OA?OA?OB,m?n?.

4442??2. 【2016届天津市和平区高三三模】在平行四边形ABCD中, E为BC的中点，F为DC的中点，若

uuuruuuruuurAC??AE??BF,则???的值为 ．

【答案】

8 5【考点3】平面向量共线问题 【备考知识梳理】

1. 共线向量的概念:若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.

向量共线的充要条件:①共线向量定理：a∥b（b≠0）?存在唯一实数?，使得a=?b. ②若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b?x1y2-x2y1=0. 【规律方法技巧】

1.向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.

2.对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共

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