第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则 如果 lim xn
n
A, lim yn B, 那么
n
n
n
lim ( xn yn )
n
lim xn
n
lim y n A B
n
lim ( xn yn ) lim xn
xn
yn
lim yn A B
n
lim ( xn. yn ) lim ( xn ). lim ( yn） A.B
n
n
lim xn
n
lim
n
A B
n
lim yn
n
( B
0)
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若
． ．
an
， bn
， cn
有极限，则：
lim (an bn cn ) lim an
n
lim bn lim cn
n
n
n
特别地，如果 C 是常数，那么
lim (C.an )
lim C .lim an
CA
n
n
n
2、函数极限的四算运则
如果 lim f ( x) A, lim g( x) B, 那么
lim f ( x) lim g (x) lim f ( x) lim g( x)
A B lim f ( x) lim g ( x) lim f ( x) lim g (x)
A B
lim f ( x)
lim f ( x)A
(B lim g (x) 0)
g( x)
lim g ( x)
B
推论 设 lim f1 (x), lim f 2 ( x), lim f 3 ( x),...... lim f n ( x),lim f ( x) 都存在， k 为常数，lim [ f1 (x) f1 (x) .... fn (x)] lim f 1 ( x) lim f 2 ( x) .... lim f n (x) lim [ kf ( x)] k lim f ( x)
lim [ f (x)] n [lim f ( x)] n
3、无穷小量的比较：
设 , 是同一过程中的两个无 穷小 ,且 lim
0, lim
0.
(1) 如果 lim
0,就说
是比 高阶的无穷小 , 记作
o( );
( 2 ) 如果 lim C (C 0), 就说 是与 同阶的无穷小 ;
（3）特殊地 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小量 ; 记作 ~ ;
(4) 如果 lim
C (C 0,k 0), 就说 是 的 k阶的无穷小 .
k
(5) 如果 lim , 则称 是比 低阶的无穷小量 .
常用等级无穷小量的比 较：当 x 0时,
1
n 为正整数，则有：
sin x ~ x,arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctanx ~ x,ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x,
重要极限 lim
sin x
x
1 x
e对数列有 lim (1
n
1 cosx ~ 1 x 2 .
2
1. lim (1 1 ) x e.lim (1 x)
1 ) n e
x 0 x 0
x
x 0
n
第二章节公式
1. 导数的定义：
函数 y＝ f ( x) 在 x＝ x0 处的瞬时变化率是
lim
x →0
f ( x0＋
x) － f ( x0 ＝ lim
x x →0
.
)
f
x
，我们称它为函数
＝ ( ) 在 ＝ 0 处的导数，记作
x x y f x
fx
′( 0)或
′| ＝
y x x
0
即 ′( 0)
fx
f ( x0＋ x) － f ( x0)
＝ lim
x→0
x
2．导数的几何意义
函数 ( ) 在 ＝
f x x
x
0 处的导数就是切线的斜率
k
，即
＝ lim f ( x0＋ x) － f ( x0) ＝
k
x →0
x
f
′(0)．
x
3．导函数 ( 导数 )
当
变化时， ′()便是 的一个函数，我们称它为
( ) 的导函数 ( 简称导数 ) ， ＝
( ) 的导函数有时也记作
′，即
x
f
x x
f ( x＋ x) － f ( x)
f x
y
f x
y
f ′(x) ＝y′＝ lim
x →0
x
.
4．几种常见函数的导数
－
(1) c′＝ 0( c 为常数 ) ， (2)(
xn) ′＝ nxn1( n∈ Z) ，(3)( ax) ′＝ axlna(a ＞0,a 1), ( ex) ′＝ ex
1 1
(4)(ln x) ′＝ ， (log a x) ′＝ log ae=
1 x ln a
(a ＞ 0,a
1)
x
x
(5)(sin
x) ′＝ cos x，(6)(cos x) ′＝－ sin x
(7) (tan x)'
1
, (8)
(cot x)'
1
cos2 x
sin 2x
(9)
(arcsin x)'
1 1 x 2
1 1
( 1 x
1) , (10)
(arccosx)'
1 1 x2
( 1
x 1)
(11)
(arctan x)'
x2
,(arc cot x)'
1
(12)
1 x2
5．函数的和、差、积、商的导数
( u±v) ′＝ u′± v′， ( uv) ′＝ u′ v＋ uv′
u
u′ v－uv′
v2
， ( ku) ′＝ cu′(k 为常数 ) ．
v ′＝
2
( uvw) ′＝ u′vw＋ uv′w+ uvw ′
微分公式：
（ 1） d (c)
o(c为常数）
（ ） d x a
ax dxa 1
a为任意实数）
2 (
) (
(3) d (log x
)1
1a
dx(a 0, a 1), d (ln x)
dx
x ln a
x
（ ） x x
x4)0, a 1)
d(ex ) edx
d (a a ln adx(a (5) d (sin x) cos xdx
(6)d (cos x)
sin xdx
(7) d (tan x)
1
dx , (8)
d (cot x)
1 dx
cos2 x
sin 2 x
(9)
(arcsin x)'1
dx , (10)
(arccosx)'
1
dx
1 x2
1 x 2
(11)1 d (arc cot x)
1
d (arctan x)
dx , (12)
dx
1 x 2
1 x 2
6．微分的四算运则
d( u± v) ＝ du± dv，
d(
uv) ＝v du ＋ udv
d (u
) vdu udv ( v 0) d( ku) ＝ kdu( k 为常数 ) ．
v v2
洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
limf ( x) ‘f (x)
lim
limf ' ' (x)
A(或 ）
x a
g( x)
x a
g' (x) x a g ' ' ( x)
7. 导数的应用：
f ' (x) =0 的点为函数 f ( x) 的驻点，求极值；
x0则f (x0 )为f ( x)的极大值， x0为极大值(1) x
x0 时， f ' ( x) 0 0
; x
时
, f ( x)'
, 点
;
则 f (x0 )为f ( x)的极大值， x0为极小值(2) x
x0 时， f ' ( x) 0 ; x
x0时 , f ( x)' 0 , 点 ;
(3)
如果 f '( x)在x0的两端的符号相同，那 么 f ( x0 )不是极值， x0不是极值点。 ;
f ' ' ( x) =0 的点为函数 f ( x) 的拐点，求凹凸区间； f ' ' ( x) 0的 x取值范围内，曲线 y f (x)为凸的（下凹） f ' ' ( x) 0的 x取值范围内，曲线 y
f (x)为凹的（上凹）
第三章知识点概况
f ( x ) dx 不定积分的定义：函数
f(x) 的全体原函数称为函数
f(x) 的不定积分，记作
，并称 为积分符号，函数
f ( x )
为被
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