20．（1）单调递减区间是??0,1??，单调递增区间是??1?2,?????；（2）?????,1?1??2?e??.
【详解】
（1）函数f?x?的定义域为?xx0?，f??x??ax?1x2?2， 又曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与直线y?2x平行 所以f??1??a?1?2?2，即a?1
?f?x??lnx?1x?2x，f??x???x?1??2x?1?x2?x?0? 由f??x??0且x?0，得0?x?1?2，即f?x?的单调递减区间是?1??0,2?? 由f??x??0得x?12，即f?x?的单调递增区间是??1?2,?????. （2）由（1）知不等式f?x??2x?mx恒成立可化为lnx?1x?2x?2x?mx恒成立即m?x?lnx?1恒成立
令g?x??x?lnx?1? g??x??lnx?1 当x???0,1??时，g??x??0，g?x?在?1??e???0,e??上单调递减.
当x???1?e,?????时，g??x??0，g?x?在??1??e,????上单调递增. 所以x?1e时，函数g?x?有最小值 由m?x?lnx?1恒成立
得m?1?1e，即实数m的取值范围是?????,1?1?e??. 21．（1）a?3,b?11,c?10；（2）见解析 【详解】
(1):假设存在符合题意的常数a，b，c， 在等式1?22+2?32+…+n（n+1）2
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=（an2+bn+c）中，
令n=1，得4=（a+b+c）① 令n=2，得22=（4a+2b+c）② 令n=3，得70=9a+3b+c③ 由①②③解得a=3，b=11，c=10， 于是，对于n=1，2，3都有 1?22+2?32+…+n（n+1）2=
（3n2+11n+10）（*）成立．
(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立． （1）当n=1时，由上述知，（*）成立． （2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立， 即1?22+2?32+…+k（k+1）2 =
（3k2+11k+10），
那么当n=k+1时，
1?22+2?32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2 =（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
=（3k2+5k+12k+24）
=
[3（k+1）2+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．22．（1）见解析（2）a∈（-1?52e，-23e4）． 【详解】
（1）f（x）的定义域为（0，+?）． 由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）
可知f'（x）=?a22x2?ax?a2?2x?a??x?a?x?2x?a?x?x， 所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
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当x∈（a，+?）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增；
若a=0，则当f'（x）=2x>0在（0，+?）内恒成立，函数f（x）单调递增； 若a<0，则当x∈（0，-a2）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减， 当x∈（-
a2，+?）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增． （2）若a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+?）单调递增．
若a<0，f（x）在（0，-
a2）单调递减，在（-a2，+?）单调递增． ??1?a?e,?1??a?e,?由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有??f?a??0,?2或?f??a??f?1??0,???2???0,?f?e??0????f?1??0,?f?e??0,得a无解或a∈（-1?52e，-23e4）.
综上，a∈（-1?52e，-23e4）
． 8
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