其中 MPL＝
eq \\f(dQ,dL)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)
MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3) w＝2 r＝1
于是有 eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3),eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)
K－
eq \\f(2,3))＝
eq \\f(2,1)
整理得 eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1) 即 K＝L
再将K＝L代入约束条件2L＋1·K＝3 000，有
2L＋L＝3 000
解得 L*＝1 000 且有 K*＝1 000
将L*＝K*＝1 000代入生产函数，求得最大的产量
Q*＝(L*)eq \\f(2,3)(K*)eq \\f(1,3)＝1 000eq \\f(2,3)＋eq \\f(1,3)＝1 000
本题的计算结果表示：在成本C＝3 000时，厂商以L*＝1 000，K*＝1 000进行生产所达到的最大产量为Q*＝1 000。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。 eq \\o(max,\\s\\do4(L，K))Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3) s.t. 2L＋1·K＝3 000
L(L，K，λ)＝Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)
将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件 eq \\f(?L,?L)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)－2λ＝0(1)
eq \\f(?L,?K)＝
eq \\f(1,3)
L
eq \\f(2,3)
K－
eq \\f(2,3)－λ＝0(2)
eq \\f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0(3)
由式(1)、式(2)可得 eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1)
即 K＝L
将K＝L代入约束条件即式(3)，可得
3 000－2L－L＝0
解得 L*＝1 000 且有 K*＝1 000
再将L*＝K*＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量
Q*＝(L*)eq \\f(2,3)(K*)eq \\f(1,3)＝1 000eq \\f(2,3)＋eq \\f(1,3)＝1 000
在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。
(2)根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件 eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(w,r)
其中 MPL＝eq \\f(dQ,dL)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)
MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3) w＝2 r＝1
于是有 eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3),eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)
K－
eq \\f(2,3))＝
eq \\f(2,1) eq \\f(1,1)
整理得 eq \\f(K,L)＝即 K＝L
再将K＝L代入约束条件Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＝800，有
Leq \\f(2,3)Leq \\f(1,3)＝800
解得 L*＝800 且有 K*＝800
将L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本
C*＝2×800＋1×800＝2 400
本题的计算结果表示：在Q＝800时，厂商以L*＝800，K*＝800进行生产的最小成本为C*＝2 400。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。
mieq \\o(n,\\s\\do4(L，K))2L＋K
s.t. L
eq \\f(2,3)
K
eq \\f(1,3)＝800
L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3))
将拉格朗日函数分别对L、K和μ求偏导，得极值的一阶条件 eq \\f(?L,?L)＝2－eq \\f(2,3)μL－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)＝0(1)
eq \\f(?L,?K)＝1－
eq \\f(1,3)
μL
K
eq \\f(2,3)
K－
eq \\f(2,3)＝0(2)
eq \\f(?L,?μ)＝800－Leq \\f(2,3)
由式(1)、式(2)可得 eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1)
即 K＝L
eq \\f(1,3)＝0(3)
将K＝L代入约束条件即式(3)，有
800－Leq \\f(2,3)Leq \\f(1,3)＝0
解得 L＝800 且有 K＝800
再将L*＝K*＝800代入目标函数即成本等式，得最小的成本
C＝2L＋1·K＝2×800＋1×800＝2 400
在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。
14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。
图4—3
解答：以图4—3为例，要点如下：
(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图4—3中，只有一条等成本线AB；此外，有三条等产量曲线Q1、Q2和Q3以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。
(2)在约束条件即等成本线AB给定的条件下，先看等产量曲线Q3，该曲线处于AB线以外，与AB线既无交点又无切点，所以，等产量曲线Q3表示的产量过大，既定的等成本线AB不可能实现Q3的产量。再看等产量曲线Q1，它与既定的AB线交于a、b两点。在这种情况下，厂商只要从a点出发，沿着AB线往下向E点靠拢，或者从b点出发，沿着AB线往上向E点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线AB与等产量曲线Q2的相切处E点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTSLK＝得
eq \\f(MPL,w)＝
eq \\f(MPK,r)。
eq \\f(w,r)，且整理可
图4—4
15. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。 解答：以图4—4为例，要点如下：
(1)由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4—4中，只有一条等产量曲线
eq
\\o(Q,\\s\%up6(－))；此外，有三条等成本线AB、A′B′和A″B″以供分析，并从中找出相应的最小成本。
(2)在约束条件即等产量曲线该线处于等产量曲线
eq \\o(Q,\\s\%up6(－))给定的条件下，先看等成本线AB，
eq \\o(Q,\\s\%up6(－))既
eq
eq \\o(Q,\\s\%up6(－))以下，与等产量曲线
无交点又无切点，所以，等成本线AB所代表的成本过小，它不可能生产既定产量况下，厂商只要从a点出发，沿着等产量曲线者，从b点出发，沿着等产量曲线
\\o(Q,\\s\%up6(－))。再看等成本线A″B″，它与既定的等产量曲线交于a、b两点。在这种情
eq \\o(Q,\\s\%up6(－))往下向E点靠拢，或
eq \\o(Q,\\s\%up6(－))往上向E点靠拢，就都可以在既
定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线eq \\o(Q,\\s\%up6(－))与等成本线A′B′的相切处E点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTSLK＝\\f(MPL,w)＝
eq \\f(MPK,r)。
eq \\f(w,r)，且整理可得
eq
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