（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【专题】计算题；综合题．
【分析】（1）每个工人被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”
相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率利用独立事件的概率求解即可． （Ⅱ）（i）A类、B类工人人数之比为250：750=1：3，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x和y即可．
画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 （ii）取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数． 【解答】解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽
．
到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w．w.
（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名． 故4+8+x+5=25，得x=5，6+y+36+18=75，得y=5．
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小． （ii）
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1．
【点评】本题考查等可能时间、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力． 20．（12分）（2009?宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1 （1）求椭圆C的方程；
13
，
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，，e为椭圆C
的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【专题】计算题；综合题；转化思想． 【分析】（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，分析可得这个顶点是长轴的端点，则有a+c=7，a﹣c=1；解可得ac的值，进而可得b的值，即可得答案；
（2）设M（x，y），P（x，y1 ），根据椭圆的方程为
+=1且P在椭圆上，可得e的值
与y1=
2
①；根据题意，有=e=
2
②；联立①②化简可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1， 则这个顶点不会是短轴的端点，而是长轴的端点， 则有a+c=7，a﹣c=1； 解可得a=4，c=3； 则b=； 故椭圆的方程为
+
=1；
（2）设M（x，y），P（x，y1 ）， 椭圆的方程为
+
=1中，e==；
又由椭圆方程为+
=1，且P在椭圆上，即y1=
2
①；
根据题意得=e=
2
2
②； ；
①②联立化简可得，y=即y=±
，（﹣4≤x≤4）
其轨迹是两条平行于x轴的线段．
14
【点评】本题考查椭圆的性质与轨迹的求法，实际是椭圆的综合题目，注意轨迹方程的求法步骤，尤其是轨迹与轨迹方程的区别与联系．
21．（12分）（2009?宁夏）已知函数f（x）=x﹣3ax﹣9ax+a． （1）设a=1，求函数f（x）的极值； （2）若
，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
3223
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题． 【专题】计算题． 【分析】（1）把a=1代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可．
（2）转化为求导函数的绝对值在x∈[1，4a]上的最大值即可．
2
【解答】解：（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x﹣6x﹣9． 令f′（x）=0，解得x1=﹣1，x2=3． 列表讨论f（x），f′（x）的变化情况： x （﹣∞，﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞） 1） 0 0 + f′（x） + ﹣ ↑ f（x） ↑ 极大值6 ↓ 极小值﹣26 所以，f（x）的极大值是f（﹣1）=6，极小值是f（3）=﹣26． （2）f′（x）=3x﹣6ax﹣9a的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称． 若
，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
2
2
2
2
从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a，最大值是f′（4a）=15a．
222
由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x﹣6ax﹣9a≤12a，于是有（1）=3﹣6a﹣9a≥﹣12a，且f′（4a）
2
=15a≤12a．
由f′（1）≥﹣12a得﹣≤a≤1，由f′（4a）≤12a得所以
2
．
．
，即
若a＞1，则∵|f′（a）|=15a＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立． 所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是
．
15
【点评】本题涉及到利用导函数求极值．利用导函数求极值时，须先求导函数为0的根，再根据导函数为0的根左右两侧的符号来求极大值和极小值． 22．（10分）（2009?宁夏）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，切点分别为D，E，F，则∠EDF= 45 度．
【考点】圆的切线的性质定理的证明． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】连接OE、OF，易证得四边形OECF是正方形，由此可证得∠EOF=90°；由圆周角定理即可求得∠EDF的度数．
【解答】解：连接OE、OF，则OE⊥BC、OF⊥AC； 四边形OECF中，∠OEC=∠C=∠OFC=90°，OE=OF； ∴四边形OECF是正方形； ∴∠EOF=90°；
∴∠EDF=∠EOF=45°． 故答案为：45．
【点评】本题考查的是切线的性质、正方形的判定和性质以及圆周角定理．
23．（2009?宁夏）已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：
（t为参数）距离的最小值．
【考点】圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 【专题】计算题；压轴题；转化思想． 【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
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