a．向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切记在物体的作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外不要再添加一个向心力。 b．对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析： ①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
②明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圆心）。
③分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。
?2??v??④选用公式F=mR=mRω2=mR?T?解得结果。
22c．圆周运动中向心力的特点： ①匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。
②变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
③当物体所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心运动。 例3：如图3-4所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．
【审题】物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，则物体做匀速圆周运动的角速度ω就等于碗转动的角速度ω。物体A做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡。 【解析】物体A做匀速圆周运动，向心力： 而摩擦力与重力平衡，则有：
Fn?mgFn?m?2R图3-4
?Fn?mg
即：
?
m?2R?mg由以上两式可得：
?
??即碗匀速转动的角速度为：
g?R
【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源，即搞清楚什么力充当向心力．本题还考查了摩擦力的有关知识：水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础上，角速度再大，此后摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小不变，正压力变大。 例4：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为__________。
【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力．由圆周运动的规律可知：当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小。
【解析】设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为F1和
图3-5 F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：
在最高点：mg＋F1＝mω2r ① 在最低点：F2－mg＝mω2r ②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：ΔFN＝F2＋F1 ③
由①②③式可解得：ΔFN＝ 【总结】
（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动
（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力
（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少 解：（1）做初速度沿圆周切线方向，只受重力的平抛运动。 （2）电机对铁块无作用力时，重力提供铁块的向心力，则 mg＝
g即 ω1＝r
（3）铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F1，则F1＋mg＝ F1＝
(M?m)g(M?m)gmrmr即当ω2≥时，电动机可以跳起来，当ω2＝时，铁块在最
低点时电机对地面压力最大，则
F2－mg＝ FN＝F2＋
解得电机对地面的最大压力为FN＝2（M＋m）
（4）圆周运动的周期性
利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。
在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。 例5：如图3-6所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。
【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。 图3-6 【解析】①小球做平抛运动，在竖直方向上：
1h＝2gt2 则运动时间
2ht＝g
又因为水平位移为R 所以球的速度
gRv＝t＝R·2h
②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt 则转盘角速度：
n?2?ω＝t＝2nπ
g2h(n＝1，2，3…)
【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。 例6：如图3-7所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
12gt2=h
2hg图3-7
求得t=
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
Tt=(4n+1)4(n=0，1，2，3……)
2π2π两式联立再由T=?得 (4n+1)?=
π所以ω=2(4n+1)
2hg
g2h (n=0，1，2，3……)
【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性。 （5）竖直平面内圆周运动的临界问题 圆周运动的临界问题：
图3-8
（1）如上图3-8所示，没有物体支撑的小球，在绳和轨道的约束下，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
v2①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg＝mR?v临界＝Rg。
②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
（2）如图3-9球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）。 ②当0＜v＜Rg时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力。
③当v＝Rg时，FN＝0。
④当v＞Rg时，FN为拉力，FN随v的增大而增大。
图3-9
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