中考数学综合专题训练【几何综合题】精品专题解析
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．
⑵ 掌握常规的证题方法和思路．
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（南充，10分）⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 解：（1）证明：连接OD，AD． AC是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC中，AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角， ∴∠C＝∠BED．
故∠B＝∠BED，即DE＝DB．
点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径， 即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．
故OD⊥DF ，DF是⊙O的切线． （2）设BF＝x，BE＝2BF＝2x．
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又 BD＝CD＝2BC＝6， 根据BE?AB?BD?BC，2x?(2x?14)?6?12． 化简，得 x2?7x?18?0，解得 x1?2,x2??9（不合题意，舍去）． 则 BF的长为2．
点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．
1
【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。
证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE
而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE ∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB和△ADC中，
∠BAD＝∠CAD AD＝AD
∠ADB ＝∠ADC
所以 △ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。 （注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）
点拨：要想证明BD=CD，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS”来证明．
【例3】（内江，10分）如图⊙O半径为2，弦BD＝23，A
A D B E C
为弧
BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。求：四边形ABCD的
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面积。
解:连结OA、OB，OA交BD于F。
A为弧BD的中点?OF?BD,BF?FD?3?
? OB?2??OF?1?AF?1 ?S?ABD?1BD?AF?3 2AE?CE?S?ADE?S?CDE,S?ABE?S?CBE
?S四边形ABCD?2S?ABD?23
【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、CD正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．
图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为22 ≈2．828． 1
图2－4－4（4）中，延长EF交BC于H，由 ∠FBH＝30°，BH= ，
2利用勾股定理，可求得EA=ED=FB==FC=3,FH?6,?EF?1?2FH?1?3,
333所以⑷中线路总长为：
4EF+EF=4×33)?1??(1?333?2.732.
显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．
点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．
【例5】（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。
⑴求证：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的长。
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