18 圆锥曲线的标准方程与几何性质
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().
A.-1 C.-1
B.2- D.2-
解析?根据题意,设F(c,0),又由△OAF是等边三角形,得A. 因为点A在椭圆上,所以+=1. ① 又a=b+c, ②
联立①②,解得c=(-1)a,则其离心率e==-1,故选A. 答案?A
2.直线l:x-2y-5=0过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().
A.-=1 B.-=1 C.-y=1 D.x-=1
解析?对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又=,所以a=20,b=5,所以双曲线的方程为-=1,故选A.
答案?A
3.从抛物线y=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().
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A. B. C. D.
解析?设P(x0,y0),因为抛物线y=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=±4.又点P在第一象限,所以P(8,4),所以kPF=,故选C.
答案?C
4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为().
A.2 B.3 C.6 D.8
解析?设P(x0,y0),则+=1,即=3.又F(-1,0),所以·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)+2.因为
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x0∈[-2,2],所以(·)max=6,故选C.
答案?C
能力1 ?巧用定义求解曲线问题
【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x+y=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线的右支
解析?因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.
答案?D
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求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.
椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的(). A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析?设线段PF2的中点为D, 则|OD|=|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x轴,
∴PF1⊥x轴,∴|PF1|===.
又∵|PF1|+|PF2|=4,
∴|PF2|=4-=,
∴|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.
答案?A
能力2 ?会用有关概念求圆锥曲线的标准方程
【例2】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().
A.-y=1 B.-=1 C.x-=1 D.-=1 解析?由题意可得解得
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∴双曲线C的标准方程是x2-=1,故选C.
答案?C
渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.
已知双曲线-=1的离心率为,且双曲线与抛物线x=-4y的准线交于A,B两点,S△ABO=,则双曲线的实轴长为().
A. B.2 C.2 D.4
解析?因为抛物线的方程为x=-4y, 所以准线方程为y=.
因为S△ABO=,所以×2×|xA|×=, 所以xA=±1,所以A(1,)或A(-1,). 因为双曲线-=1的离心率为, 所以a=b,所以-=1,故a=, 因此双曲线的实轴长为2,故选C. 答案?C
能力3 ?会用几何量的关系求离心率
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