【例3】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为().
A. B. C.-1
D.
解析?因为|OM|=|MF1|=|OP|,所以∠F1PO=30°, ∠MF1F2=60°,连接MF2 ,则可得三角形
MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,易知MF1=c,MF2=c,则c+c=2a,所以离心率e===-1,故选
C.
答案?C
求离心率一般有以下几种方法:①直接求出a,c,从而求出e;②构造a,c的齐次式,求出
e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题
中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.
过双曲线-=1(a>b>0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为().
A. B.2 C. D.
解析?因为a>b>0,所以交点A,B在F的两侧.由=及角平分线定理知==. 由AB⊥AO知cos∠AOB==,所以∠AOB=60°,∠AOF=30°, 据此可知渐近线的方程为y=±x, 而双曲线-=1的渐近线方程为y=±x, 故=,则双曲线的离心率e==,故选A. 答案?A
能力4 ?能紧扣圆锥曲线的性质求最值或取值范围
【例4】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为().
A. B. C. D.1
解析?设P,由题意知F,显然当y0<0时,不符合题意,故y0>0, 则=+=+=+(-)=+=,
可得kOM==≤=,当且仅当=2p,即y0=p时取等号,故选C. 答案?C
解题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|=2|MF|,利用向量的运算可知M,从而写出直线的斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.
2
2
如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于
点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点A,C与点
B,D(均不重合).若P为椭圆上任意一点,记点P到两条直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值
是().
A.4 B.5 C. D.
解析?易知椭圆T的方程为+y=1,圆O的方程为x+y=1.设P(x0,y0),因为l1⊥l2,所以
222
+=PM2=+(y0-1)2.又因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3+.因为-1≤y0≤1,所以当y0=-时,+取得最
大值,此时点P的坐标为,故选C.
答案?C
一、选择题
1.抛物线y=4x的准线方程为(). A.y=-1 B.y=1 C.y=
D.y=-
2
2
2
解析?将y=4x化为x=y,则该抛物线的准线方程为y=-,故选D. 答案?D
2.已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m=(). A.6 B. C.4 D.2
解析?由焦点在x轴上的椭圆+=1,可得a=,c=.由离心率为可得=,解得m=4,故选C. 答案?C
3.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y=-4x的焦点重合,则椭圆的方程为().
2
A.+=1 B.+=1 C.+y=1 D.+y=1
解析?由题意可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以
2
2
c=1.又离心率e==,解得a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1,故选A.
答案?A
4.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是(). A. B. C. D.
解析?设正方形ABCD的边长为2m, 因为椭圆的焦点在正方形的内部,所以m>c. 又正方形的四个顶点都在椭圆+=1上, 所以+=1>+=e+=e+, 所以e-3e+1>0,所以e<=, 所以0 5.以F(p>0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x-y=2相交于M,N两点,若△MNF为正三角形,则抛物线C的标准方程为(). A.y=2x B.y=4x C.x=4y D.x=2y 解析?将y=代入双曲线x-y=2中,可得x=±. 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ∵△MNF为正三角形,∴p=×2.
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