《高等数学》教学大纲课程名称高等数学Ⅰ

《高等数学》教学大纲

课程名称：高等数学Ⅰ

课程代号： 学时数： 学分数: 适用专业：专升本

一、本课程的地位、任务和作用

高等数学是人们在从事高新技术及知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分。21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给“高等数学”课程的教学增添了新的内涵。 “高等数学”是高等院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育，使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础。

二、本课程的基本内容及要求 第一章 函数 （一）基本内容

函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数，反函数，隐函数，基本初等函数的性质及其图形。掌握常用的不等式和等式以及极坐标。

（二）基本要求

1．理解函数的概念，掌握表示法。

2．了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数，隐函数概念。 4．掌握简单初等函数的性质及其图形。 5．掌握常用的不等式和等式以及极坐标。 第二章 极限与连续 （一）基本内容

熟练掌握数列极限与函数极限的定义及性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质及其比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限

limsinx1 ?1 lim(1?)x?ex?0x??xx

函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

（二）基本要求

1．理解数列极限与函数极限的概念。 理解函数的左、右极限概念及极限存在与左、右极限存在的关系。

2．掌握极限的性质、极限的四则运算法则。

3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，基本掌握利用“两个重要极限”求极限的方法。

4．理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。

5．理解函数连续的概念，会判别函数间断点的类型。

6．了解连续函数的性质，初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质并会利用这些性质。

第三章 一元函数微分学 （一）基本内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

（二）基本要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 4．会求分段函数的导数。

5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

第四章 一元函数微分学的应用

（一）基本内容

罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西定理（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）中值定理，洛比达（L'Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的及其简单应用，弧微分，曲率半径。

（二）基本要求

1．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理。了解柯西中值定理。

2．掌握用\洛比达\法则求未定式极限的方法。

3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

4．会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

5．了解弧微分的概念及其计算公式，了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

第五章 一元函数积分学 （一）基本内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

（二）基本要求

1．理解原函数、不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，理解不定积分的性质，掌握不定积分的换元法和分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 第六章 一元函数积分学的应用 （一）基本内容

定积分的元素法，用定积分计算面积、体积、弧长，用定积分计算功、水压力、引力。

（二）基本要求

1．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平面截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）。

2．掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力沿直线所做的功、水压力和引力）。

笫七章 常微分方程 （一）基本内容

微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉（Euler）方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念 2．掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法

3．会求解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4．会用降阶法求解方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)，y???f(y,y?)。 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法，并会求解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8．了解微分方程的幂级数解法，会求解欧拉方程。 9．会用微分方程解决一些简单的应用问题。 笫八章 向量代数与空间解析几何 （一）基本内容

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

（二）基本要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件。

3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 第九章 多元函数微分学 （一）基本内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用。

（二）基本要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程。 8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。