活用数形思想 巧解物理竞赛试题

活用数形思想 巧解物理竞赛试题

温州实验中学 谢杰妹

随着新课改的深人及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活整合，将会拓展优化解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。数学作为研究物理的工具，在物理教学中的应用相当普遍，而且在中考或竞赛中有着广泛的应用。数理是相通的，它们在彼此的研究中相互发展与完善。综合运用数学知识，可以正确、迅速地进行有关物理问题的运算。选择正确的数学方法、思路和解题技巧，可以解决一些常规物理方法难以解决的问题，达到事半功倍的效果。 一．观图 速解题

图象是一种特殊且形象的数学语言工具，它可以直观地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系，形象地描述物理规律。用图象法解物理题不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程。观图法解决试题可从两个方面着手：首先，应认清图像各个维度表达的物理意义，挖掘图像整体反应的物理规律。其次，根据试题给定条件，找出试题涉及的物理原理和数学方法。 例1．一个标有\字样额定功率未知的灯泡，在室内测得其灯丝电两端电压U变化的关系图线如右图所示。则灯泡正常发光时的电阻为 丝电阻与其热力学温度成正比，室温20℃为300K(K是热力学温度单灯泡正常发光的情况下，灯丝的温度为 K。

析与解：图线反映了电阻与电压的定量关系，由图线可知：温度对该电

阻有明显影阻R随灯泡Ω。假如灯位)，那么在

响。对于题中第一空，只要知道额定电压和正常工作电压的关系，可从图线上直接读取。对于题中第二空，试题难度明显增加，能力要求较高，除能准确把握试题给出信息（灯其热力学温度成正比）外，更要深入挖掘图线中隐性物理涵义，找电压与温度三者之间的关联：不加电压（0伏）时，电阻温度与室此时电阻的阻值为1欧。答案：6欧和1800K。

例2．如图所示，直线A为电源的U－I图线，直线B为电阻R的U

丝电阻与出电阻、温相同，

－I图线，

用该电源和电阻组成的闭合电路，电源输出功率和电路的总功率分别是（ ）

A．4 W 8 W B．2 W 4 W C．4 W 6 W D．2 W 3 W

析与解：由直线A的U－I图线，电源电压为3伏。由电阻R的U－I图线，R是一个线性电阻。当电源和电阻共同组成闭合电路时，两者组成一个串联电路，电流相等，图线A、B交点对应的横坐标（2A）即为此时电流，但电源电压仍是恒量。再由电功率计算公式P=UI可得答案：C 二．作图 巧解题

画函数图象是数学学习的常用方法和手段，数学作为研究物理的工具，作图法物理解题中，同样倍受关注，不能替代。解题基本思路如下：首先，根据物理规律找出各物理量之间的关系式,抽象出研究对象的函数关系式。其次，在试题图象上画出函数图象，化数为形。最后，抽象图象共性，找出交点坐标，达到巧解试题的目的。

例3.已知灯泡两端电压与通过它的电流的关系如图(a)所示,现把遵从上述规律的两个灯泡和一个R0=10欧的定律电阻及电压恒为8伏的电源按如图（b）所示的方式连接，求此时流过电流表的电流和灯泡的电阻？

析与解：由

图可知，灯泡的阻值随电压而变化，是一个变量。而通过灯泡的电流与电压成正比、与电阻成反比，三者关系遵循欧姆定律，即I=U/R。由此可见, 灯泡电阻的阻值与通过灯泡的电流均随电压而变化,使试题变得复杂。再者，图(a)中的电流与电压非属线性关系，不能建立函数模型，常规的二元一次方程无法求解。本题解法如下：设通过灯泡的电流和两端电压分别为I、U，根据串并联电路特点可得

U + 2IR0 = U电源 ，即U + 20I = 8，然后在图(a)上作出图线得图(c),找出交点坐标(4.0,0.3),即U =4.0伏，

I =0.3安，求得灯泡电阻的阻值R =13.3欧，电流表读数为0.6安。

例4.如图13-7的电路中R1=R2=100Ω，且R1和R2 的阻值不随温度而变的定值电阻．白炽灯泡L的伏安特性曲线如图所示．电源电动势U=100V，内阻不计．求：⑴当电键K断开时灯泡两端的电压和通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率．⑵当电键闭合时，灯泡两端的电压和通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率．

0.80 0.60 I/A 析

与

R1 R2 0.40 0.20 U/V 0 20 40 60 80 100

解：由图可知，灯泡电阻的阻

( a )

值与通过灯泡的电流均随两端电压而变化,属多变量试题。且灯泡电流与电压非属线性关系，不能建立函数模型，常规的二元一次方程无法求解，化数为形是首选的办法。试题解法如下： （1）设通过灯泡的电流和两端电压分别为I、U，根据路特点可得U + IR1 = U电源 ，即U + 100I = 100，然上作出图线得图(c),找出交点坐标(40,0.6),即U = 40伏，求得灯泡的实际电功率P = U I = 24瓦。

（2）同理可得，U +（I + U /R2 ）R1 == U电源 ，即U +/100 ）×100 ==100 ，化简得U +50 I =50，然后在图(b)线得图(d),找出交点坐标约为(27,0.47),

即U =27伏，I ==0.47安，求得灯泡的实际电功率P ==UI ==12.69瓦。

三．构图 活解题

所谓数学模型,就是用符号、字母和数字等数学语言表示的，反映问题中各要素之间数量关系的数学表

( d )

串并联电后在图(b)I =0.6安，

（I + U 上作出图

达式。构建数学模型(即数学建模)解决物理问题，就是用数学语言形式表达所研究的物理问题的特征及有关量之间的关系，然后应用数学方法寻求问题答案。

例5.太阳的辐射功率是指在单位时间内太阳垂直辐射到物体表面单位平面面积上的能量。用中学实验室里常用的煤油温度计就可以粗略测算出太阳的辐射功率。中午时，先将温度计置于室内背阴处，读出这时的温度T1，然后将该温度计放在太阳光下照射，使光线垂直于温度计液泡侧面，记录下温度从T1升高至T2过程所经历的时间△t和末温T2。若温度计液泡的平均直径为d，液泡的平均长度为L，煤油的密度为ρ，煤油的比热容为c，设想太阳辐射到液泡上的能量全部被煤油吸收，试分析推导出太阳辐射功率P的表达式。

析与解：解决问题的关键是建立温度计液泡的几何模型。温度计液泡形状看似规则,其实不然，不属准几何模型，这就须解题者仔细观察，分析比较与各近规则几何模型的异同，忽略次要因素，建立理想化和等效模型，这是物理学常用的科学方法。基于以上分析，可将温度计液泡近视地看成一圆柱体。解法如下：

π在△t时间内煤油吸热为：Q＝cm (T2－T1) 煤油的质量：m?ρLd2

4Q温度计吸热的有效面积：S?dL 太阳的辐射功率：P?

?t?S联立上述四个式子，可得：P?πcρd(T2?T1)

4?t例6.印度尼西亚刚经受了海啸的袭击，又遭受了暴雨的摧残。连日的暴雨使印度尼西亚首都雅加达地区一些河流水位上涨，部分街道被淹没。图示为一名雅加达妇女依靠橡胶轮胎漂浮在水面上。假定轮胎的内圈直径约60厘米，外圈直径约100厘米，约0.2×103千克/米3，试估算使用该轮胎最多设人不浸入水中，g=10牛/千克)？

析与解：试题涉及的物理原理较为简单，试题的积问题。受平面图形圆的影响，容易误认为轮胎

难点和创新点是轮胎的体是规则几何图形，其实不轮胎充足气时的平均密度能托起重为多少牛的人(假

然。就图形相似性而言，轮胎最接近圆柱体，于是，圆柱体就成为我们构图的目标。思路如下：将轮胎纵

向切开，将切面圆作为圆柱体的底面，切去外圆弧部分长度补给内圆弧，使内外圆弧长度相等，取其长度（内外圆弧长度的平均值）作为圆柱体的高，轮胎的体积即为构造的圆柱体体积。解法如下：

轮胎的体积约为V=π〔(D1－D2)/4〕2×〔π(D1+D2)/2〕=0.08米３

由平衡条件可得：ρ水Vg=G物+ρ圈Vg G物=ρ水Vg － ρ圈Vg = 640牛

综上所述，数形结合思想在物理解题中有着广泛的应用，观图、作图和构图是数形结合思想的概括、提升和活用，是解决物理试题，特别是竞赛试题的有效途径和方法。对于优化课堂教学、提高课堂教学效率，拓展学生思维的空间、丰富学生解题的方法和提高应变的能力，有着重要意义。