【分析】（1）过点B 作BH⊥x轴于点H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以OB=OA=4，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；
（2）分两种情况：Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M；Ⅱ当点B在第二象限时（如图3），过点B作 BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H；分别求出点A、B的坐标，利用待定系数法求解析式，即可解答；
（3）分三种情况：Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4）；Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5）；Ⅲ当75°＜β＜180°时，分三种情况解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根据等腰三角形的性质，角之间的和与差，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，过点B 作BH⊥x轴于点H，
在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8 ∴OB=OA=4
当β=45°时，即∠BOC=45°， ∴OH=BH， ∴OH2+BH2=42
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∴OH=BH=2∴B（
， ）
（2）Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M，
∵∠BOD=60°， ∴∠BOC=30°， ∴OM=∴B（2
，2）
，BM=OB
，
∵点A在y轴上 ∴A（0，8），
设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴解得：
，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8；
Ⅱ当点B在第二象限时，（如图3）
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过点B作 BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H ∵∠BOD=60°， ∴∠BOE=30°， ∴∠EB0=60°， ∴∠ABH=30°， 又∵OB=4， ∴OE=∴B（﹣2
，2），
，BE=OB
，
∵∠BEO=∠AHB=90°，∠ABH=∠BOE， ∴△OBE∽△BAH ∴∴AH=2∴A（﹣4
，BH=6 ，﹣4）
设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴解得：
∴直线AB的解析式为：y=x+8．
（3）Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4），
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∠AGF为钝角， 当GA=GF时， ∴∠A=∠AFG=30°， ∴∠OGC=60°， 又∵∠GCO=45°，
∴∠GOC=180°﹣60°﹣45°=75°， ∴β=∠BOC=75°﹣60°=15°． Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5），
∠GAF为钝角， 当AF=AG时，
∴∠AGF=∠AFG=∠OAB=15°， ∴∠GOC=180°﹣15°﹣45°=120°， ∴β=∠BOC=120°﹣60°=60°， Ⅲ当75°＜β＜180°时
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