K2.25-双线性变换法设计IIR滤波器 - 图文 

双线性变换法设计IIR滤波器知识点K2.25

双线性变换法设计IIR滤波器主要内容： 双线性变换法设计IIR滤波器

基本要求： 掌握双线性变换法设计IIR滤波器

1双线性变换法设计IIR滤波器K2.25 双线性变换法设计IIR滤波器冲激响应不变法s域和z域的映射具有多值性，出现频谱混叠，只适用于低通或带限的高通、带通情况。双线性变换法的基本思路：将连续系统微分方程通过数值积分近似，导出相近的差分方程，从而完成离散系统的设计。假设一个连续的一阶系统，其微分方程是y?(t)?ay(t)?bf(t)则其系统函数为bHa(s)?s?a2双线性变换法设计IIR滤波器将y(t)用 y′(t) 的积分表示ty(t)??y?(?)d??y(t0)t0令数值采样步长为 T，t=kT， t0=(k-1)T，代入上式:y(kT)??kT(k?1)Ty?(?)d??y[(k?1)T]假设T很小，上式用梯形法逼近积分项 (面积)：Ty(kT)?{y?[(k?1)T]?y?(kT)}?y[(k?1)T]2y?(t)0(k?1)T3kTt双线性变换法设计IIR滤波器Ty(kT)?{y?[(k?1)T]?y?(kT)}?y[(k?1)T]2根据微分方程 y′(t)+ay(t)=bf(t)：y?[(k?1)T]?bf[(k?1)T]?ay[(k?1)T]y?(kT)?bf(kT)?ay(kT)代入，可得：Ty(kT)?{bf[(k?1)T]?ay[(k?1)T]?bf(kT)?ay(kT)]}?y[(k?1)T]2aTy(kT)?y[(k?1)T]?{y[(k?1)T]?y(kT)}2T?{bf[(k?1)T]]?bf(kT)]}24双线性变换法设计IIR滤波器该式是个一阶差分方程，两边取z变换：aTbT?1?1Y(z)(1?z)?Y(z)(1?z)?F(z)(1?z)22?1可得系统函数：bT(z?1)Y(z)b2H(z)???F(z)z?1?aT(z?1)2(z?1)?a2Tz?1与连续系统函数对比bHa(s)?s?a2z?11?sT2s?(),z?Tz?11?sT25双线性变换法设计IIR滤波器双线性变换法：通过s和z的映射关系，可以直接由模拟滤波器的系统函数Ha(s)得到数字滤波器的系统函数H(z)。这种映射关系属于双线性变换映射。j?T

s?j??e进一步研究，令 ，z ，可以得到：?Tjsin()j?Tj?T2?j?T22e?12e?e22?T2j?????jtan()j?Tj?T2?j?T2Te?1Te?eTcos(?T)T22故2?T2?T??tan(),??arctan()T2T2表明，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，而且 Ω=±∞映射为 ω=±π，可以避免混叠。6