8.4 直线、平面垂直的判定和性质
挖命题 【考情探究】
5年考情 考点 内容解读 考题示例 考向 线面垂直的判定 2018浙江,19 和性质、直线与平面 所成的角 2017浙江,19 1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理. 2.理解直线与平面垂直、平面与垂直的判定和性质 平面垂直的性质定理,并能够证明. 3.理解直线与平面所成的角、二面角的概念. 4.能够证明空间垂直位置关系的简单命题. 2015浙江,17,文18 2016浙江,5,18,文18 直线与平面所成的角 线面垂直、面面垂直 的判定和性质、直线与 平面所成的角、二面角 线面垂直的判定和 性质、直线与平面所 成的角、二面角 线面垂直的判定 2014浙江文,20 和性质、直线与平面 所成的角 分析解读 1.直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定和性质,线面间的角与距离的计算是高考的重点,特别是以多面体为载体的线面位置关系的论证,更是高考的热点,试题以中等难度为主.
2.高考常考的题型有:①判断并证明两个平面的垂直关系,直线与平面的垂直关系,直线与直线的垂直关系.②线面、面面垂直的性质定理的应用,求直线与平面、平面与平面所成角等综合问题.多以棱柱、棱锥为背景.
3.预计2020年高考试题中,垂直关系仍然是考查的重点和热点.考查仍会集中在垂直关系的判定和垂直的性质的应用上,其解决的方法主要是传统法和向量法,复习时应高度重视.
解三角形求角和正切值 解三角形求 正弦值、余弦值 解三角形求余弦值 ★★★ 直线与平面平行的 判定与性质 解三角形求正弦值 预测热度 关联考点
破考点 【考点集训】
考点 垂直的判定和性质
1.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,3)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则使a⊥b成立的一个充分条件是( ) A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?β C.a⊥α,b⊥α 答案 D
2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,19,15分)如图,在空间几何体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AB∥EF,AF=EF=BE=1,DF= . (1)求证:BF⊥平面ADF;
(2)求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值.
D.a⊥α,b∥α
解析 (1)证明:在等腰梯形ABEF中, AB=2,EF=AF=BE=1?∠FAB=,(1分)
故BF= ,则BF+AF=AB,可得AF⊥BF.(3分)
2
2
2
在△DFB中,由BF+DF=BD,可得BF⊥DF.(5分)
2
2
2
因为AF∩DF=F,所以BF⊥平面ADF.(7分)
(2)作FO⊥AB交AB于O,如图,以O为原点,OF,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,(9分)
则F
,B ,E
= - - , =(0,1,0), ,C ,∴
设平面DCEF的法向量为n=(x,y,z), 由 可取n= ,(12分)
设直线BF与平面DCEF所成角为θ, = 又
,n>|= = , - ,所以sin θ=|cos<
.(15
即直线BF与平面DCEF所成角的正弦值为
分)
3.(2016课标全国Ⅰ,18,12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值.
解析 (1)证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,AF∩EF=F,所以AF⊥平面EFDC.(2分) 又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分) (2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.
的方向为x轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分) 以G为坐标原点,
由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|= ,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ). 由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分) 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.
由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0, ), =(1,0, ), =(-3,-4, ), 所以 =(0,4,0), =(-4,0,0).(10分) 设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则 即
所以可取n=(3,0,- ). 设m是平面ABC的法向量,则
同理可取m=(0, ,4).则cos
.(12
分)
评析 本题考查了立体几何部分有关垂直的证明,以及二面角的求解和利用空间向量求解立体几何问题.解决立体几何问题时要注意“发现”垂线所在的位置.
炼技法 【方法集训】
方法1 线面垂直判定的方法
1.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),19,15分)如图,四边形ABEF是正方形,AB∥CD,AD=AB=BC=CD. (1)若平面ABEF⊥平面ABCD,求证:DB⊥平面EBC; (2)若DF⊥BC,求直线BD与平面ADF所成角的正弦值.
解析 (1)证明:∵四边形ABEF是正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB, ∴EB⊥平面ABCD,∴EB⊥BD,(2分) ∵AD=AB=BC=CD,
∴不妨设AD=AB=BC=1,DC=2,则BD= , ∴BD⊥BC.(4分)
∵EB∩BC=B,∴DB⊥平面EBC.(6分)
(2)解法一:如图,过点F作FH⊥平面ABCD,垂足为H,连接AH并延长,交CD于点G.
过点H作HI⊥AD交AD于点I,连接FI,作HO⊥FI交FI于点O, ∵FH⊥平面ABCD,∴FH⊥BC, ∵DF⊥BC,∴BC⊥平面FDH, ∴BC⊥DH,即点H在BD上,(9分) ∵FH⊥AD,HI⊥AD,FH∩HI=H, ∴AD⊥平面FIH,∴AD⊥HO,
∵HO⊥FI,FI∩AD=I,∴HO⊥平面AFD,∴点H到平面AFD的距离为HO,(11分) 由已知可得DG=,HG=HI=,HO=,而BD=3DH,
∴点B到平面AFD的距离为.(13分)
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