离散数学 - 修订版 - 耿素云 - 清华大学 - 课后答案

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:

24884211263126319511

107

42 (1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R?的集合表达式.

debafcgbcfdeg

a (a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,,,,}?IA

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,}?IA

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元. (1)A={a,b,c,d,e}

R?={,,,,,,}?IA. (2)A={a,b,c,d,e}, R?={}?IA. 解:

13

edbcadeabc

(1) (2) 项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无 第八章部分课后习题参考答案

1． 设f :N?N,且

?1，若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,?})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,?})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射 (3) f:N?N,f(x)=?

(4) f:N?{0,1},f(x)=?

(5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错

14

?1，若x为奇数?0，若x为偶数 不是满射，不是单射

?0，若x为奇数?1，若x为偶数 是满射，不是单射

(4)f是从X到Y的双射. 错

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。

（3） 全体n?n实矩阵集合

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭 （5）正实数集合

和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R （6）n关于普通的加法和乘法运算。

?封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n

运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =

,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题

7．设 * 为Z上的二元运算?x,y?Z，

?? 15

X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

(1) 求4 * 6，7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，,

< a，b >* =

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：*= ?< a，b >*

可结合：(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元，

S ，*= *=

S有

?? 则==，解的=<1,0>，即为单位。

设是零元，

S ，*= *=

则==，无解。即无零元。

S，设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x?0时，?x,y???11y,? xx分别有表10.8确定。

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元；

16