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一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
0.3,且 P( A)
1. 设事件 A, B 仅发生一个的概率为
生的概率为 __________.
P(B) 0.5 ,则 A, B 至少有一个不发
答案: 0.3 解:
P( AB
即
AB) 0.3
0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.5 2P( AB)
所以
P( AB) 0.1
P( A B ) P( AB ) 1 P( AB) 0.9.
2. 设随机变量 X 服从泊松分布,且
答案:
P ( X 1)
4 P( X
2) ,则 P(X 3) ______.
1 e 1 6
解答:
2
P( X
1) P( X
0) P( X 1)
e e , P( X
2)
2
e
由 P( X 1) 即 2
4P( X 2) 知 e 1 0
e
1,故 P(X
2 e
2
2
解得
3) 1 e 1
6
3. 设随机变量 X 在区间 (0,2) 上服从均匀分布, 则随机变量 Y
密度为 f Y ( y) _________. 答案:
X 在区间 (0,4) 内的概率
2
fY ( y) FY ( y)
1
fX ( y )
1 , 4 y
0 y
4,
2 y
0 , 其它 .
解答:设 Y 的分布函数为 FY ( y), X 的分布函数为
FX ( x) ,密度为 f X ( x) 则
FY ( y) P( Y
y)
P(
2
X
y) P(
y X
)yX
F(
)y F()y
X
因为 X ~ U (0, 2) ,所以 FX (
y ) 0 ,即 FY ( y) FX ( y )
故
1
---
--
, 0 y 4,
1 1 fY ( y) FY ( y)
fX ( y )
4 y
2
y
0 , 其它 .
另解
在 (0, 2) 上函数 y
x2
严格单调,反函数为 h( y)
y
所以
1
fY ( y) f X ( y)
24 y1 , 0 y 4,
y
0 , 其它 .
4. 设随机变量
X ,Y 相互独立,且均服从参数为
的指数分布,
P( X 1) e 2
,则_________ , P{min( X ,Y) 1} =_________. ,
答案: 2 P{min( X ,Y)
1} 1 e
-4
解答:
P( X 1) 1 P( X 1) e e 2
,故
2
P{min( X ,Y ) 1} 1 P{min( X ,Y )
1}
1 P( X 1)P(Y
1)
1 e 4 .
5. 设总体 X 的概率密度为
(
1) x , 0 x
1,
f ( x)
0,
.
其它
1
X1 , X 2 , , Xn 是来自 X 的样本,则未知参数
的极大似然估计量为 _________.
答案:
1
1
n
1
ln xi
n i
1
解答:
似然函数为
n
L( x1 , , xn ; )
(
1)xi (
1)n ( x1 , , xn )
i 1
n
ln L n ln(
1)
ln xi
i 1
d ln Lnn
d
ln xi 0
1
i 1
解似然方程得
的极大似然估计为
2
---
--
1
1
n
1.
ln x
i
n i 1
二、单项选择题(每小题
3 分,共 15 分)
1.设 A, B,C 为三个事件,且 A, B 相互独立,则以下结论中不正确的是
( A )若 P(C ) 1,则 AC 与 BC 也独立 . ( B)若 P(C ) 1,则 A C 与 B 也独立 .
( C)若 P(C ) 0 ,则 A C 与 B 也独立 .
( D)若 C
B ,则 A 与 C 也独立 .
(
)
答案:( D) .
解答:因为概率为
1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立,所以( A ),(都是正确的,只能选(
D) .
事实上由图
S
可见 A 与 C 不独立 .
A B
C
2.设随机变量
X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ,则 P(| X | 2) 的值为
( A ) 2[1 (2)] . ( B) 2 (2) 1 .
( C) 2
(2) .
( D ) 1 2
(2) .
( )
答案:( A )
解答: X ~ N (0,1)
所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2 X 2) 1 ( 2 )( 2 ) 1 [ 2
( 2 )
1] 2 [ 1
应选( A) .
3.设随机变量 X 和 Y 不相关,则下列结论中正确的是
( A ) X 与 Y 独立 . ( B) D ( X Y)
DX DY .
( C) D ( X Y)
DX DY . ( D) D ( XY ) DXDY .
(
)
3
---
B),(C)
--
答案:( B)
解答:由不相关的等价条件知,
xy 0 cov( x, y) 0
D ( X Y ) DX
DY +2cov( x, y)
应选( B ) .
.设离散型随机变量
X 和 Y 的联合概率分布为
( X ,Y ) (1,1) (1,2)
(1,3) (2,1) (2, 2) (2,3) 1 1
P1 1
6
9
18
3
若 X ,Y 独立,则 , 的值为
( A )
2 , 1 . ( A ) 1 , 2 .
9 9 9 9
( C)
1 , 1 ( D )
5 ,
1 .
6
6
18
18
4
---
)
4
(
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