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《概率论与数理统计》期末考试试题与解答

来源:用户分享 时间:2025/7/12 2:15:15 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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--

一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

0.3,且 P( A)

1. 设事件 A, B 仅发生一个的概率为

生的概率为 __________.

P(B) 0.5 ,则 A, B 至少有一个不发

答案: 0.3 解:

P( AB

AB) 0.3

0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.5 2P( AB)

所以

P( AB) 0.1

P( A B ) P( AB ) 1 P( AB) 0.9.

2. 设随机变量 X 服从泊松分布,且

答案:

P ( X 1)

4 P( X

2) ,则 P(X 3) ______.

1 e 1 6

解答:

2

P( X

1) P( X

0) P( X 1)

e e , P( X

2)

2

e

由 P( X 1) 即 2

4P( X 2) 知 e 1 0

e

1,故 P(X

2 e

2

2

解得

3) 1 e 1

6

3. 设随机变量 X 在区间 (0,2) 上服从均匀分布, 则随机变量 Y

密度为 f Y ( y) _________. 答案:

X 在区间 (0,4) 内的概率

2

fY ( y) FY ( y)

1

fX ( y )

1 , 4 y

0 y

4,

2 y

0 , 其它 .

解答:设 Y 的分布函数为 FY ( y), X 的分布函数为

FX ( x) ,密度为 f X ( x) 则

FY ( y) P( Y

y)

P(

2

X

y) P(

y X

)yX

F(

)y F()y

X

因为 X ~ U (0, 2) ,所以 FX (

y ) 0 ,即 FY ( y) FX ( y )

1

---

--

, 0 y 4,

1 1 fY ( y) FY ( y)

fX ( y )

4 y

2

y

0 , 其它 .

另解

在 (0, 2) 上函数 y

x2

严格单调,反函数为 h( y)

y

所以

1

fY ( y) f X ( y)

24 y1 , 0 y 4,

y

0 , 其它 .

4. 设随机变量

X ,Y 相互独立,且均服从参数为

的指数分布,

P( X 1) e 2

,则_________ , P{min( X ,Y) 1} =_________. ,

答案: 2 P{min( X ,Y)

1} 1 e

-4

解答:

P( X 1) 1 P( X 1) e e 2

,故

2

P{min( X ,Y ) 1} 1 P{min( X ,Y )

1}

1 P( X 1)P(Y

1)

1 e 4 .

5. 设总体 X 的概率密度为

(

1) x , 0 x

1,

f ( x)

0,

.

其它

1

X1 , X 2 , , Xn 是来自 X 的样本,则未知参数

的极大似然估计量为 _________.

答案:

1

1

n

1

ln xi

n i

1

解答:

似然函数为

n

L( x1 , , xn ; )

(

1)xi (

1)n ( x1 , , xn )

i 1

n

ln L n ln(

1)

ln xi

i 1

d ln Lnn

d

ln xi 0

1

i 1

解似然方程得

的极大似然估计为

2

---

--

1

1

n

1.

ln x

i

n i 1

二、单项选择题(每小题

3 分,共 15 分)

1.设 A, B,C 为三个事件,且 A, B 相互独立,则以下结论中不正确的是

( A )若 P(C ) 1,则 AC 与 BC 也独立 . ( B)若 P(C ) 1,则 A C 与 B 也独立 .

( C)若 P(C ) 0 ,则 A C 与 B 也独立 .

( D)若 C

B ,则 A 与 C 也独立 .

答案:( D) .

解答:因为概率为

1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立,所以( A ),(都是正确的,只能选(

D) .

事实上由图

S

可见 A 与 C 不独立 .

A B

C

2.设随机变量

X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ,则 P(| X | 2) 的值为

( A ) 2[1 (2)] . ( B) 2 (2) 1 .

( C) 2

(2) .

( D ) 1 2

(2) .

( )

答案:( A )

解答: X ~ N (0,1)

所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2 X 2) 1 ( 2 )( 2 ) 1 [ 2

( 2 )

1] 2 [ 1

应选( A) .

3.设随机变量 X 和 Y 不相关,则下列结论中正确的是

( A ) X 与 Y 独立 . ( B) D ( X Y)

DX DY .

( C) D ( X Y)

DX DY . ( D) D ( XY ) DXDY .

3

---

B),(C)

--

答案:( B)

解答:由不相关的等价条件知,

xy 0 cov( x, y) 0

D ( X Y ) DX

DY +2cov( x, y)

应选( B ) .

.设离散型随机变量

X 和 Y 的联合概率分布为

( X ,Y ) (1,1) (1,2)

(1,3) (2,1) (2, 2) (2,3) 1 1

P1 1

6

9

18

3

若 X ,Y 独立,则 , 的值为

( A )

2 , 1 . ( A ) 1 , 2 .

9 9 9 9

( C)

1 , 1 ( D )

5 ,

1 .

6

6

18

18

4

---

4

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