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《二次函数与一元二次方程》典型例题
例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（－1，7），且在x轴上截取长为3的线段，对称轴方程是x－1＝0，求这个二次函数的解析式．
例2如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q，过点Q的直线y＝2x＋m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B．若S△BPQ＝3S△APQ，求这个二次函数的解析式．
4例3已知抛物线y＝mx2－（3m＋）x＋4（m≠0）与x轴交于两点A、B，与y
3轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．
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参考答案
例1 分析 按通常的解法，此题应列方程组
来解，但若能深刻思考“在x轴”上截取长为3的线段，对称轴方程是“x－1＝0”的深层含义，充分利用抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的两交点的坐标别为（2.5，0），（－0.5，0），且2.5和－1.5是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，若利用这些信息求解析式，则变得十分简单，方法也更为轻巧．
解:抛物线的对称轴方程是x＝1，且在x轴上截取的线段为3，所以抛物线与x轴交点坐标分别为（2.5，0）（－0.5，0）．
设此函数解析式为y＝a（x－2.5）（x＋0.5）， 把（－1，7）代入，解得 a＝4；
所以所求的二次函数解析式为 y＝4x2－8x－5．
由于二次函数的解析式中有三个参数a，b，c；运用待定系数法求a，b，c时，则需3个独立条件，已知3个点的坐标是最基本的条件，但如果已知对称轴方程，或抛物线与x轴的一个交点坐标，或截得线段的长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为这个基本条件，只需掌握这个转化就可以了，这里就是一例．
例2 分析：注意到已知条件中“二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个
公共点P”，可知抛物线的解析式为y＝＝4c．据此，用待定系数法求b，c的值．
．且有Δ＝b2－4c＝0，即有b2
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