1.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．33 B．6 C．210 D．25
C [直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝
62＋22＝210.]
2．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
10
A．2 C．5
B．10 D．10
D [由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.]
4
3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__________．
444 [由y＝x＋x(x>0)，得y′＝1－x2，
444
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋x(x>0)切于(x0，x0＋x)(x0＞0)，由1－2 ＝
0x0 －1，解得x0＝2(x0>0).
4
∴曲线y＝x＋x(x>0)上，点P(2，32)到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为|2＋32|
2
＝4.]
4．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：
(1)点A和点C的坐标； (2)△ABC的面积．
??x－2y＋1＝0，
[解] (1)由方程组?解得点A(－1，0).
??y＝0，又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1). 已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1). ??y＝－（x＋1），
解方程组?得点C的坐标为(5，－6).
??y－2＝－2（x－1），(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC|＝
（1－5）2＋[2－（－6）]2＝45，
|2×（－1）－4|
5
＝6
，所5
点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝16
以△ABC的面积为2×45×＝12.
5
1．一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A．2
B．2
C．3 D．4
B [点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.]
2. (2019·临沂模拟)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )
A．(－4，0) C．(4，0)
B．(0，－4) D．(4，0)或(－4，0)
2＋m4＋n
A [设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为(3，3)，代入欧2＋m4＋n
拉线方程得3－3＋2＝0，整理得m－n＋4＝0，①
易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝
4－00－2
＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2
???x－2y＋3＝0，?x＝－1，1
＝2(x－1)，即x－2y＋3＝0.由?解得?∴△ABC的外心为(－
???x－y＋2＝0，?y＝1.1，1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8.②
联立①②解得m＝4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，∴顶点C的坐标是(－4，0).故选A.]
圆的方程
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一、选择题
1．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1，1) C．(1，－1)
B．(－1，0) D．(0，－1)
1
k2＋4－4k2＝2
1
D [由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝2－3k2＋4，要使圆的面积最大，须使半径最大，
1
所以当k＝0时，rmax＝24＝1，此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0， 即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1).]
2．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0，2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5
A [由题意得，点(a，1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r. ∴
|2a－1＋4|2＋（－1）
2
2
＝|2a－1－6|2＋（－1）
2
2
，解得a＝1.
∴r＝
|2×1－1＋4|22＋（－1）2
＝5，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.]
3．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则（x－1）2＋（y－1）2的最大值为( )
A．26＋2 C．5 A [
B．26 D．6
（x－1）2＋（y－1）2的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距
离．易知点A(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合可知（x－1）2＋（y－1）2的最大值为A.]
4．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝4 1?3?2
D．?x＋2?＋y2＝2
??
（1－0）2＋（1＋4）2＋2＝26＋2.故选
C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3，2y).∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]
5．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．26 C．46
B．8 D．10
C [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋3E＋F＋10＝0，D＝－2，????
则?4D＋2E＋F＋20＝0，解得?E＝4， ???D－7E＋F＋50＝0.?F＝－20.∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，
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