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摘要：倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略
和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
本论文在自动控制原理校正的基本思想上，通过采用根轨迹校正法，频域法，分别对倒立摆系统进行校正，使之满足性能要求。
关键词：倒立摆，自动控制，根轨迹，频域法
1、引言
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院 的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一
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般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
法控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：PID 控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算。
2、设计题目及设计过程
1）倒立摆问题的引入
倒立摆系统介绍，以直线一级摆实物如图：
图1 直线以及倒立摆控制系统
系统的组成：倒立摆系统有倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运
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动控制卡和PC机），三大部分组成。
直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2 所示。
实际系统的模型参数如下:
M m b l I 小车质量1.096 Kg 摆杆质量0.109 Kg 小车摩擦系数0 .1N/m/sec
摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5m 摆杆惯量0.0034 kg*m*m
分析系统的受力，列出运动方程，球的系统的数学模型：
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图3 小车及摆杆受力分析
小车水平方向上的合力：Mx=F-bx-N 摆杆水平方向的合力：
水平方向上的运动方程：
对摆杆垂直方向的受力进行分析可以得到垂直方向上的受力方程 ：
用 U 来代表被控对象的输入力 F，线性化后，得到如下两个运动方程（其中θ=π+ψ）：
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如果令U=V，进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度与小车唯一的传递函数：
白干角度与小车加速度之间的传递函数为：
摆杆角度和小车所受外力之间的传递函数：
带入系统模型参数，求出系统的开环传递函数，经计算开环传递函数为：
G(s)=Φ（s）∕V(s)
=ml∕((I+ml^2)S^2-mgl)
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=0.02725∕（0.0102125S^2-0.26705）
用波特图分析原系统的性能，得到下图：
图1 原系统的波特图
有图1可以看出，与系统不稳定，需要通过与校正装置的串联进行校正。
2）根轨迹法设计
用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足： 最大超调量：σp﹤10% 调整时间：ts=0.5s （2%误差带） 设计步骤如下：
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有上述校正装置，对校正后的系统进行matlab进行仿真。可得起根轨迹如下图：
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图4 校正后的根轨迹示意图
从图中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，说明校正后的装置性能稳定，至于最大超调量与调节时间还需要对系统进行matlab的simulink仿真。仿真过程及结果如下：
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图5 根轨迹校正后系统的仿真
经对图5的放大，得到最大超调量σp=
1.221?1.137=7.4%﹤10%
1.137 最大调节时间ts=1.46-1.0=0.46s。
综合根轨迹图和仿真验证，设计控制装置合理，满足要求。 3）、频域法设计
设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足： 使得系统的静态位置误差常数为10 相位裕量为50 增益裕量等于或大于10 分贝。 设计过程如下：
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图6 频域法simulink仿真结果
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图7 频域法校正后系统性能波特图分析
有波特图可以看出，校正后系统的各性能指标为： 使得系统的静态位置误差常数为10
相位裕量为52.4 增益裕量为∞。
综合校正后系统的simulink仿真结果和波特图的分析，使用频域法所设计的校正装置符合要求。
3、设计心得及总结
设计是一种实践，是理论联系实际，应用和巩固所学专业知识的一项重要环节，培养我们能力和技能的一个重要手段。通过倒立摆控制系统的课程设计，更加清楚了自动控制系统的校正方法的特点，控制方法，研究内容，为以后的课程设计积累了重要经验。当然课程的设计初始过程中也遇到了一些问题，但通过不断的调整设计参数，最终使得设计结果在电脑上的仿真还是在实验室真实条件下的实验都取得了很好的效果，圆满完成课程设计任务。另外为了这次设计我查阅了很
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多最近的相关文献资料，也开阔了视野，了解到科学的发现问题，分析问题，解决问题的能力，对自己的学习规划也指引了一条正确道路。
最后，从开始课程设计的迷茫无助，到现在设计的完成，得益于谢昭莉老师的指导和同学的帮助，在此，再次表达我衷心的感谢！
4、参考文献
1、固高科技XX.直线倒立摆安装与使用手册R1.0，2005 2、固高科技XX. 倒立摆与自动控制原理实验，2005 3、固高科技XX. 固高MATLAB实时控制软件用户手册，2005 4、Matlab/Simulink相关资料
5、涂植英，陈今润. 自动控制原理. XX：XX大学，2005 6、胡寿松. 自动控制原理. ：科学，2001
7、Katsuhiko Ogata.现代控制工程. ：电子工业，2003
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