高等数学试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数??1(x)= A.ln2(x+1)，则f??(x)??（ ） x-1x-2x+22-xx+2 B.ln C.ln D.lnx+2x-2x+22-x0tx?e?2．limx?0?e?t?2?dt1?cosx?（ ）
D．?
A．0 B．1 C．-1
3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（ ）
A.lim?y?0 B.?y?0 C.dy?0 D.?y?dy
?x?0?2x2,x?14．设函数f(x)=?，则f(x)在点x=1处（ ）
?3x?1,x?1A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设?xf(x)dx=e-x?C，则f(x)=（ ）
A.xe-x B.-xe-x C.2e-x D.-2e-x
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
2222211)+f(x-)的定义域是__________. 447．lim?a?aq?aq2???aqn??q?1??_________
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+
n??8．limarctanx?_________
x??xg29.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本MCg?100?__
80010.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.
12.微分方程xy'?y?1?x的通解是___________. 13.设
32ln2e?1cos2x14.设z?则dz= _______. y?dtta??6,则a?___________.
15.设D?(x,y)0?x?1,0?y?1，则????xeD?2ydxdy?_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
?1?16.设y???，求dy.
?x?
x
17.求极限limlncotx
x?0?lnx18.求不定积分
??5x?1??a01ln?5x?1?dx.
19.计算定积分I=
a2?x2dx.
20.设方程x2y?2xz?ez?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？
?22.计算定积分xsin2xdx
?023.将二次积分I??dx?0??siny2xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题9分） 24.已知曲线y?x2，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线y?x2与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，xln(x?1?x2)?1?x2?1
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
?13???a7．答案：
1?q6．答案：?,?
448．答案：0
9．答案：
10．答案：1 413 11．答案：（1，2）
x3?1?Cx 12．答案：213．答案：a?ln2
1?cos2x?14．答案：??sin2xdx?dy?
y?y?1?215．答案：?1?e?
4
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x?1?16. 答案：??lnx?1???dx
?x?17．答案：-1 18．答案：19. 答案：
2ln?5x?1??C 5?2a 4'x2xy?2zx2'，Zy?20. 答案：Z?
2x?ez2x?ez
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：r0?3VV4V3 ，h0??22??r0??222．答案：
423. 答案：1
五、应用题（本题9分） 24. 答案：（1）y=2x-1（2）
11?， 12301?1?y?123122（2） 所求面积S??(?y)dy???y?1??y??
023?012?411???2221所求体积Vx????x?dx????1???? 0325630
六、证明题（本题5分） 25．证明：
?f(x)?xln(x?1?x2)?1?x2?12x1?2x21?x2 ?f'(x)?ln(x?1?x)?x?x?1?x21?x2xx ?ln(x?1?x2)??1?x21?x2 ?ln(x?1?x2) ?x?0 ?x?1?x2?1 ?f'(x)?ln(x?1?x2)?0故当x?0时f(x)单调递增，则f(x)?f(0),即
xln(x?1?x2)?1?x2?1
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