高等数学-七-多元函数微分学 - 图文

定义点x称为y=f(x)的驻点?f?(x)?0;?fx(x,y)?0点(x,y)称为z=f(x,y)的驻点??f(x,y)?0.y??fx(x,y,z)?0?点(x,y,z)称为u=f(x,y,z)的驻点??fy(x,y,z)?0.?f(x,y,z)?0?z§3、全微分全微分的概念全微分的计算

一、全微分概念

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域U内有

定义，且函数在该点处的全增量为

?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)其中点(x??x,y??y)?U.定义1

z=f(x,y)点(x,y)处可微??z?A?x?B?y?o(?)其中A，B与Δx,Δy无关，o(ρ)是ρ→0时ρ的高阶无穷小。线性部分A Δx +B Δy称为z=f(x,y)点(x,y)处的全微分，记为dz或df(x,y),即

能dz?A?x?B?y说明：

1、如果函数在区域D内每一点处均可微时，称函数在区域D内可微，也称函数为D内的可微函数；

2、当函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微时，其全微分是自变量增量Δx,Δy的线性函数，它是全增量的

主要部分，即当| Δx|,|Δy|充分小时，有

Δz≈dz;[近似计算]

3、如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则当自变量增量Δx→0,Δy →0时，Δz →0，即函数在点(x,y)处连续；反之不然。