高等数学-七-多元函数微分学 - 图文

【例2】求函数z?x?2xy?3y在点(1,2)处的偏导数。

223〖解〗先求偏导函数，再代值。

?z2??2x?2y,?x?z2??4xy?9y,?y?z2??(2x?2y)|x?1??6,?x(1,2)y?2?z2?(?4xy?9y)|x?1?28.?y(1,2)y?2□

y【例3】求函数z?ln的偏导数。x〖解〗视y为常数，对x求导得：复合函数求导法则?z1??y?xy1????(?2)??,?xyx?x?x?yxx视x为常数，对y 求导得：

?z1??y?x11??????.?yyx?y?x?yxy□

【例4】求函数u?xyz的偏导数。

〖解〗视y,z为常数，对x求导得：

?uy??x?xzyzy?1z;[幂函数导数公式]

视x,z为常数，对y 求导得：[指数函数导数公式]

[指数函数导数公式]视x, y 为常数，对z求导得：

?u??y?lnx?xlnx?????x;?y?y?z?zyzyz?u??y?ylnx?xlnx?????2?x.?z?z?z?zyz□

一元可导函数的四则运算求导法则推广为多元可导函数的四则运算偏导法则：

设f(x,y)和g(x,y)均为可导函数，则

??f?g?f?g???;?x?x?x??f?g?f?g???g?f?;?x?x?x?f?g?g?f???f??x?x???2???x?g?g