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半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动．因为在这种情况下xm的最大值是l1，即
12mv?201Bl22L222l1
（13）
由此可知，发生第（i）种情况时，v0的值要满足下式
1221?Bl2mv??22?L20?2?l1 ?v0?Bl1l2mL
即 （14）
（ii） 若线框的初速度v0比较大，整个线框能全部进入磁场区．当线框刚进入磁场区时，
其速度仍大于0，这要求v0满足下式
Bl2l1mLv0? （15）
当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是x?0到x?l1，所以时间间隔与（12）式不同，而是从0到
Lm??arcsint1?Bl2??Bl1l2?? 2Lmv0??（16）
因为线框的总电动势总是为0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为0．此后线框中维持有最大的电流im??Bl2Ll1，磁场对线框两条边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前
进，运动的速度可由下式决定
12mv?2012mv?21Bl22L22l1
2即
20v?v?Bl1l2Lm222 （17）
4．解：（1）由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和
磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
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3.0?10?R?B??0?B0?125?r?3?5T?2.4?10T （1）
-7引力加速度
9.8?R?22g??0?g0?m/s?0.39m/s
25?r?2（2）
考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标z 原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿 磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量 分别为ux、uy和uz.因作用于粒子的引力沿x轴正方向，作用 于粒子的洛伦兹力与z轴垂直，故粒子在z轴方向不受力作用， 沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻，附加给粒子一 x 沿y轴正方向大小为v0的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方 向大小为v0的速度，要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好 与粒子所受的地球引力相平衡，即
qv0B?mg
uz v0 ux 图1 O uy v0 uy?v0 y
v
得
v0?mgqB （3）
用v表示ux与沿y轴的速度uy?v0的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有
v?ux??uy?v0?
22（4）
这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：
沿z轴的分速度uz．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
沿y轴的速度v0．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率v0沿y轴运动．由（3）式可知，v0的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒
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子相同．
在Oxy平面内的速度v．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有
qvB?mv2R
得
R?mvqB （5）
由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux 和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流． 由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10m/s （6） v0p?1.7?10?2?6m/s （7）
由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有
j?nq?v0p?v0e? （8）
代入有关数据得
j?2.8?10?14A/m （9）
2电流密度的方向沿纬度向东.
（2）上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
v?ux?v0 22（10）
由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径
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分别为
Re?0.33m Rp?14.8m
（11） （12）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上. 5．解：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为B?k（k为已知常量）
用半径分别为r1（>a1），r2，?，ri，?，rn–1（ ΔSi?πri?π?ri?Δri??2πriΔri 22Ir 式中已略去高阶小量(Δri)2．，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为 Δqi?2σΔSi?2σ0ri22πriΔri?4π?0Δriri 设时刻t，细圆环转动的角速度为?， ???0??t 单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流 ΔIi?Δqi?2π?2??0Δriri 由环形电流产生磁场的规律，该细圆环的电流在环心产生的磁感应强度为 ΔBi?k （1） 式中Δri是一个微小量，注意到riri?1?ri?ri?Δri??ri2，有 Δriri2ΔIiri?k2??0Δriri2 ?ri?ri?1riri?1?1ri?1?1ri （2） 将各细圆环产生的磁场叠加，由（1）、（2）式得出环心O点处的磁感应强度： www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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