一．方法综述
解三角形问题是高考高频考点，命题主要有两类，一是解三角形的“基本问题”----求角、求边、求面积；二是解三角形中的综合问题----最值与范围问题.对于第一类问题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a?c,ac,a?c三者的关系.对于第二类问题，要注意运用三角形中的不等关系：（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少；（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
22a?b?A?B?sinA?sinB?cosA?cosB，其中由A?B?cosA?cosB利用的是余弦函数单调
性，而A?B?sinA?sinB仅在一个三角形内有效.
本专题举例说明解答两类解三角形问题的方法、技巧.
二．解题策略
类型一 三角形中求边、求角、求面积问题
【例1】【2018届河北省衡水金卷一模】已知
，点是
的重心，且
，则
的内角
的对边分别为
，且
，
的外接圆的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A ∴得
，由余弦定理，得
，化简，
由正弦定理得，△ABC的外接圆半径R故选：A 【指点迷津】
.
1.解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解；
(2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．学科#网 2. 解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 【举一反三】
【2018届山东省潍坊市高三二模】在?ABC中， a, b, c分别是角A， B， C的对边，且
2sinC?sinBacosB，则A=（ ） ?sinBbcosA???2?A. B. C. D.
6433【答案】C 【解析】 故选C.
类型二 三角形中的最值、范围问题
【例2】【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形设
与
面积分别为
，则
的最大值为_____.
中，
，
【答案】 【解析】
【例3】【2018年江苏卷】在点D，且【答案】9 【解析】 由题意可知，
,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得
当且仅当
【指点迷津】
三角形中的最值、范围的求法
（1）目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．学科#网
（2）数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围． （3）利用均值不等式求得最值 【举一反三】
，因此时取等号，则
的最小值为.
，则
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于
的最小值为________．
1.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在
，若
A.
B.
的面积为
，
，则
中，已知的最小值为（ ）
，为上一点，且满足
C. D.
【答案】D 【解析】
2.【衡水金卷信息卷三】已知
，且
范围为__________． 【答案】【解析】由
的三边分别为，，可得：
，
可知：
，
，
，
可知
的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足的外接圆的面积为
，则
的最大值的取值
可知当
时，
学科&网
则
的最大值的取值范围为
三．强化训练
1.【2018届东莞市高三第二次考试】在A.
B.
C.
D.
中，若
，则
的取值范围为( )
【答案】D
2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
中，已知
为
的面积)，若
,则
【答案】C 【解析】
，
，
，
，
，
，又
，
，故选C.
3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD中， AB?2， BC?CD?DA?1，设?ABD、
?BCD的面积分别为S1、S2，则当S12?S22取最大值时， BD?__________．
【答案】10 2【解析】设
BD?b,
3?1132b4?10b2?13?1??1?22? S?S???1?2sinA????1?1sinC????cosA?cosC???4?2416?2??2??42122225?1?2?b2???5101032?22,当b?,b?时,取得最大值,故填.学科!网 ???2224164．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的面积为【答案】
因为
因为
，所以
的内角
的面积为
故填
所对的边分别为
，所以.
且
，则的最小值为________.
的角
对边分别为
，若
，且
2【解析】由题得
5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设
+
【答案】
,则
的范围是__________．
6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角?ABC的内角A、B、C的对边分别为
a、b、c,且2acosC?c?2b,a?2,则?ABC的最大值为__________．
【答案】3 【解析】 由题意，根据正弦定理化简得2sinAcosC?sinC?2sinB， 又由B????A?C?，则sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC， 所以2sinAcosC?sinC?2sinAcosC?2cosAsinC， 整理得cosA?31，又A??0,??，所以sinA?，
22 又由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA， 则4?b2?c2?2bc?1?b2?c2?bc?2bc?bc?bc，当且仅当b?c时等号成立， 2113bcsinA??4??3． 222中，
,当
即bc?4，所以?ABC的最大值为Smax?7．【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次（4月）联考】四边形边
最短时，四边形
的面积为__________．
【答案】
【解析】 当
边最短时，就是
时，连接，从而求得，从而求得
，故答案是
，
.学科&网
，应用余弦定理可以求得
，并且可以求得
，
从而求得得
，利用平方关系求
，所以四边形的面积
8.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式【答案】2
9. 【2018届百校联盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图，在若【答案】
【解析】分析：由正弦定理可得
，结合向量垂直的充要条件和向量的线性运算法则可得
.
，则
______.
中，
分别为
的中点，
，
恒成立，则
的最大值为_____．
，据此结合余弦定理可得
详解：设由由
可得：
，
，即，
，
， 可得：
，
，
整理可得：即
，
据此可得：
.学科！网
中，角
所对的边分别为
.若
，
10．【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】在
，若【答案】
，则角的大小为__________．
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