中考 2020
第12讲 反比例函数
反比例函数解析式的确定 (1)确定方法：待定系数法； (2)一般步骤：
k
①设所求的反比例函数解析式为y＝(k≠0)；
x
②根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a，b)； ③将点P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k的方程； ④解方程得待定系数k的值；
k
⑤把k的值代入y＝即可得反比例函数解析式
x
考点1： 反比例函数的图像与性质
m
【例题1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝(x＞0)的
x图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点． (1)求反比例函数的解析式；
(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定经过点C；
(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围．(不必写出过程)
【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2，BC⊥x轴． ∴AD⊥x轴．
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又∵A(1，0)，∴D(1，2)． m
∵D在反比例函数y＝的图象上，
x
2
∴m＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y＝.
x(2)当x＝3时，y＝kx＋3－3k＝3，
∴一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C. 2
(3)设点P的横坐标为a，则＜a＜3.
3
归纳：反比例函数中，y随x的大小变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求． 考点2： 反比例函数与一次函数的综合
k
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，
xBC分别相交于M，N 两点．
k
(1)若点M是AB边的中点，求反比例函数y＝的解析式和点N的坐标；
x(2)若AM＝2，求直线MN的解析式及△OMN的面积．
【点拨】(1)由已知可知点M的坐标，求出k的值，从而求出点N的坐标；(2)确定点M ，点N的坐标，三角形面积就可求出．
【解答】解：(1)∵点M是AB边的中点，∴M(6，3)．
kk
∵反比例函数y＝经过点M，∴3＝.∴k＝18.
x618
∴反比例函数的解析式为y＝.
x当y＝6时，x＝3，∴N(3，6)． (2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)． 设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则
???2＝6a＋b，?a＝－1，?解得? ??6＝2a＋b，b＝8.??
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∴直线MN的解析式为y＝－x＋8.
∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－8＝16. 【变式】 在例2中，若△OMN的面积为10，求点M，N的坐标． 解：∵OA＝OC＝6，设M(6，y)，则N(y，6)． ∴BM＝BN＝6－y. ∵S△OMN＝10，
1122
∴36－×6×y×2－(6－y)＝10，即y＝16.
22又∵y>0，∴y＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)．
归纳：1．确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可．另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法． k
2．双曲线y＝中，根据k的几何意义求图形面积常用图形有：
x
S阴影＝|k| |k|S阴影＝ 2 S阴影＝|k| 3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线y＝x的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路． 考点3：反比例函数的实际应用
【例题3】 (2018·乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y＝10即可．
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