剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
由以上分析可知，一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即
F?F(x)， M?M(x)
上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线表示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。 例8-3 图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的 计算简图，试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力 (a) 图和弯矩图。 解 （1）计算梁的支反力 取整个梁AB为研究对 象。由平衡条件：?M(F)?0和?M(F)?0，得 MMQQFQMMqm2=2qa2B2aaFBFAA11aF=qa232C3m=qa2q5445BFBaDaCMCm2=2qa2aBFBqyaFClbAB2axxFAFBFQFblFalxMFablx8yxAambBxCxxFAlFBxFQmlxABxMx ， (b) （2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁的左端A为坐标
原点，选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力F作用于C (c)
点，梁在AC和CB两段内的剪力和弯矩不能用同一方程
xmblmalFA?FblFB?Fal来表示，应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以 图8-12
截面之左的外力表示，则得
AC段
FQ(x)?FA?Fbl 0＜x＜a
（1）
0≤x≤
a （2） BC段 （3）
FQ(x)?FA?F??FalM(x)?FAx?Fbxl
a
＜
x
＜
l
a≤x≤l (4)
（3）按方程分段作图 由式（1）与式（3）可知，AC段和BC段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正，故剪力图在x轴上方；BC段剪力为负，故剪力图在x轴之下，如图8-12(b)所示。 由式（2）与式（4）可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点
x?0，M(x)?0 x?a， x?l，M(x)?0
由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图，如图8-12(c)。
例8-4 简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
M(x)?FablM(x)?FAx?F(x?a)?(FbFa?F)x?Fa?(l?x)ll
图8-13
解 （1）求支反力 由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即
（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端A为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为 0＜x＜l (1)
FQ(x)?FA?qx?ql?qx2FA?FB?ql2
0≤x≤l (2)
（3）作剪力图和弯矩图 由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如
xl/4l/23l/4l0 xql1M(x)?FAx?qx?x?qx2222M(x)0 3ql232ql283ql2320
通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。
qAFAaqAFAa2am1=2qaCQC2C2aFQCMC22BaFBAFA11a232C3m=qa2q5445BaFBaD2am2qaF'q=y 由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的FbaM'CC横截面上剪力为最大值：y12qFM?qlmaxA8xAQF2aQamaxBFB?ql2AxCB。在梁跨度中点横截lFFABxFFb?0l面上弯矩最大，而在此截面上剪力。 lxFaCl 例8-5 F图8-14所示简支梁，跨度为l，在截面MF(x)m受一集中力偶作用。试列出梁的剪力方程和弯矩xxM(x)AB的剪力图和弯矩图。 方程，并绘出梁MFQxQFBBql23qa232qa28yAxFAxamClbxFBB(a) (b) (c) l4y3l43qa232xFablQql2xlMAFAQAxBFFQmlxMxMmalxmbl 图8-14
解 （1）求支反力 由静力平衡方程?M(x)?0，?M(x)?0得
ABFl x
（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力m作用在C处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以C为界，分两段列出内力方程
AC段 0＜x≤a (1)
0≤x＜a (2)
FQ(x)?FA?mlFA?FB?ml
M(x)?FAx?mxl
ml BC段 a≤x＜l (3)
FQ(x)?FA?
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