第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题
︵222
1．如图，抛物线W：y＝4x与圆C：(x－1)＋y＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是( )
A．(10，14) C．(10，12)
B.(12，14) D．(9，11)
解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，
圆(x－1)＋y＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP， 由抛物线y＝4x及圆(x－1)＋y＝25可得交点的横坐标为4， 即有xP∈(4，6)， 可得6＋xP∈(10，12)，
故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.
4→→2
2．过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB3(λ＞1)，则λ的值为________．
2
2
2
2
2
p→→?p???解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得?－x1，－y1?＝λ?x2－，y2?，2?2???
－y14?p?故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝?x－?，联立直线与抛物线方程，消元
y23?2?33（y1＋y2）y1y29122
得y－py－p＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p，＝＋＋2＝－，即－λ－
22y1·y2y2y14λ2
2
9
＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
4
答案：4
y2x2
3．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．
ab(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．
y2x2
解：(1)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，
ab2a＝2＋0＋2＋（2＋2）＝42，所以a＝22，b＝2，
即椭圆C的方程是＋＝1.
84
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，22)，F(0，－22)， →
2
y2x2
OE·OF＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点
→
E(x1，y1)，F(x2，y2)，
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k)x＋4kx－4＝0， －4k－4
则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
2＋k2＋k－4－4k－8k20
所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝2＋2＋4＝2－
2＋k2＋k2＋k→
→
2
2
2
2
2
8，
20→→
因为0＜2≤10，所以－8＜OE·OF≤2，
2＋k→→
所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．
y2x222
4．设椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x－y＝1的离心率互为倒数，且椭
ab圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e＝＝
2
2
ca2c，由2a＝4，＝2a2yx222
，b＝a－c，得a＝2，c＝2，b＝2，故椭圆M的方程为＋＝1. 242
??y＝2x＋m22
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组?x2y2，得4x＋22mx＋m－4＝0，
＋＝1??24
由Δ＝(22m)－16(m－4)>0，得－22 ?x＋x＝－m?2且?， m－4xx＝??4 1 22 12 22 所以|AB|＝1＋2|x1－x2| ＝3·（x1＋x2）－4x1x2 ＝3·＝3· 12 m－m2＋4 24－. 2 |m|， 3 4－· 23 2 m2 又P到直线AB的距离为d＝ 13 所以S△PAB＝|AB|·d＝· 221 ＝2≤ 122 2 m2|m| ?4－m?·m2＝1m2（8－m2） ?2???22 · m2＋（8－m2） 2 ＝2. 当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S△PAB)max＝2. 1．如图所示．已知点E为抛物线y＝4x内的一个焦点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点． 2 (1)若k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值； (2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点． 解：(1)抛物线y＝4x的焦点E(1，0)， 因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由? ?y＝k1（x－1），? ??y＝4x， 2 2 42 得k1y－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4， k1 因为AB中点M? ?x1＋x2，y1＋y2?， ?2??2 k1? 2??2 所以M?2＋1，?， ?k1 同理，点N(2k1＋1，－2k1)． 11 所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝ 22≥22＋2＝4， 12 当且仅当k1＝2，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4. 2 ?22?＋?2?·（2k2）2＋（－2k）2＝2?k1??k1?11???? 22 k21＋2＋2 k1 1 k1 (2)证明：设直线AB方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ??y＝k1（x－1），42由?2得k1y－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4， k1?y＝4x，? 因为AB中点M?所以kMN＝ ?x1＋x2，y1＋y2?，所以M?22＋1，2?，同理，点N?22＋1，2?， ?k1?k2 2?k1?k2??2????? yM－yNk1k2 ＝＝k1k2， xM－xNk1＋k2 k1 2?2?所以直线MN：y－＝k1k2[x－?2＋1?]， ?k1? 即y＝k1k2(x－1)＋2， 所以直线MN恒过定点(1，2)． x2y2 2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离 ab心率为 2 ，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为22. 2 (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 解：(1)由椭圆的离心率为 2222 ，得a＝2(a－b)． 2 a2a22 又当y＝1时，x＝a－2，得a－2＝2， bb2 2 所以a＝4，b＝2， 因此椭圆方程为＋＝1. 42(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ??y＝kx＋m， 联立方程?2 2 ?x＋2y＝4，? 22 x2y2 得(2k＋1)x＋4kmx＋2m－4＝0， 由Δ>0得m<4k＋2. (*) 4km且x1＋x2＝－2， 2k＋12m因此y1＋y2＝2， 2k＋1所以D?－ 2 2 222 ?22km，2m?， ? ?2k＋12k＋1? 2 2 又N(0，－m)， ?2km??m?所以|ND|＝?－2?＋?2＋m?， ?2k＋1??2k＋1? 2 4m（1＋3k＋k） 整理得|ND|＝， 22 （2k＋1） 2 224 因为|NF|＝|m|， |ND|4（k＋3k＋1）8k＋3所以＝1＋2＝2222. |NF|（2k＋1）（2k＋1）令t＝8k＋3，t≥3. 故2k＋1＝ 2 2 22 2 2 2 t＋1 4 ， 16 . 1t＋＋2 |ND|16t所以2＝1＋2＝1＋ |NF|（1＋t） t11令y＝t＋，所以y′＝1－2. tt当t≥3时，y′>0， 1 从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增， t110 因此t＋≥， t3 等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
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