课后限时集训49
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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一、选择题
1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A．
3
3
B．3 D．－
3 3
C．－3
sin 30°3
A [设直线l的斜率为k，则k＝－＝.]
cos 150°32.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
( )
A．k1 D [直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且 α2>α3，所以0 ?1?3. 若A(－2,3)，B(3，－2)，C?，m?三点在同一条直线上，则m的值为 ?2? ( ) A．－2 1C．－ 2 B．2 1D． 2 ， －2－3m－3 D [因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝ 3－－21 －－221 解得m＝.故选D.] 2 4．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为( ) 1A．－ 3 B．－3 1C． 3[答案] A D．3 5．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0 C [若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为x－4y＝0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设为a(a≠0)，则直线的方程为＋＝1.又直线过点 xyaaA(4,1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.] 二、填空题 6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________． (－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．] 7．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________． 3x＋y－2－3＝0 [设AB的中点为M，则M(1,2)，又斜率k＝－3，直线的方程为 y－2＝－3(x－1)．即3x＋y－2－3＝0.] 8．若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l的斜率的取值范围是________． ?－5，－1? [因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)， ?3??? －3－2则kPA＝＝－5， －2－－3 kPB＝ 0－21 ＝－. 3－－33 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为 ?－5，－1?.] ??3?? 三、解答题 9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3,4)； 1 (2)斜率为. 6 [解] (1)由题意知，直线l存在斜率． 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4， 4 它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4， k?4?由已知，得(3k＋4)?＋3?＝±6， ?k? 28 解得k1＝－或k2＝－. 33 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b， 1 则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 6由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10．过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程． [解] 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上． x＋x??2＝3 由题意知?y＋y??2＝0 BB 则点B(6－x，－y)， ?2x－y－2＝0，? 解方程组? ??6－x＋－y＋3＝0， 11 x＝，??3得?16 y＝??3， 16 －03 则所求直线的斜率k＝＝8， 11－33 故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( ) A．y－1＝3(x－3) C．y－3＝3(x－1) B．y－1＝－3(x－3) D．y－3＝－3(x－1) D [因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝ －3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1). ] 2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( ) A．[－2,2] C．[－2,0)∪(0,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) b1?b?12 C [令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为??|－b|＝b， 22?2?4 122 且b≠0，因为b≤1，所以b≤4， 4所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．] 3．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线 l的方程为________． 4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α， 11 因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝， 221 2×22tan α4 所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝， 2 1－tanα?1?23 1－???2?4 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)， 3即4x－3y－4＝0.] 4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围． [解] (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)． (2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1， ??k≥0， 要使直线l不经过第四象限，则? ?1＋2k≥0，? 解得k≥0， 故k的取值范围是[0，＋∞)． ?π??π?1．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f?－x?＝f?＋x?，则直线ax?3??3? －by＋c＝0的倾斜角为( ) A.C. π 42π 3 B.D. π 33π 4 π?π??π??2π?C [由f?－x?＝f?＋x?知函数f(x)的图像关于x＝对称，所以f(0)＝f??，3?3??3??3?所以a＝－3b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－3，所以直线的倾斜角为故选C.] 2．设P为曲线C：y＝x＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为 2 ab2π，3 ?0，π?，则点P的横坐标的取值范围为( ) ??4?? 1??A.?－1，－? 2??C．[0,1] B.[－1,0] ?1?D.?，1? ?2? A [由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2. ?π?因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为?0，?，所以0≤k≤1， 4?? 即0≤2x0＋2≤1. 1 所以－1≤x0≤－.故选A.] 2
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